（本小题满分12分）如图， A C D 是等边三角形， A…——2008 高考数学第 17 题答案解析

【解答】
（12分）（2008•海南）如图，$\triangle \mathrm{ACD}$ 是等边三角形，$\triangle \mathrm{ABC}$ 是等腰直角三角形，$\angle \mathrm{ACB}=90^{\circ}$ ， BD 交 AC 于 $\mathrm{E}, ~ \mathrm{AB}=2$ ．
（1）求 $\cos \angle \mathrm{CBE}$ 的值；
（2）求 AE ．

【考点】正弦定理的应用．
【分析】（1）根据图中各角和边的关系可得 $\angle \mathrm{CBE}$ 的值，再由两角差的余弦公式可得答案。
（2）根据正弦定理可直接得到答案。
【解答】解：．（1）$\because \angle \mathrm{BCD}=90^{\circ}+60^{\circ}=150^{\circ}, \mathrm{CB}=\mathrm{AC}=\mathrm{CD}$
$\therefore \angle \mathrm{CBE}=15^{\circ}, \therefore \cos \angle \mathrm{CBE}=\cos \left(45^{\circ}-30^{\circ}\right)=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$ ．
（2）在 $\triangle \mathrm{ABE}$ 中， $\mathrm{AB}=2$ ，由正弦定理得 $\frac{\mathrm{AE}}{\sin \left(45^{\circ}-15^{\circ}\right)}=\frac{2}{\sin \left(90^{\circ}+15^{\circ}\right)}$ ，
故 $\mathrm{AE}=\frac{2 \sin 30^{\circ}}{\cos 15^{\circ}}=\frac{2 \times \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{6}}{4}+\sqrt{2}}=\sqrt{6}-\sqrt{2}$ ．
【点评】本题主要考查正弦定理及平面几何知识的应用．解三角形一直是高考的重点内容之一，不能轻视。