2021_北京卷
20.已知椭圆 $E : \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > b > 0 )$ 过点A(0,-2)，以四个顶点围成的四边形面积为 $4 { \sqrt { 5 } }$
（1）求椭圆E的标准方程；
(2）过点P(0，-3)的直线l斜率为k，交椭圆E于不同的两点B，C，直线AB，AC交y=-
3于点M、N，直线AC交y=-3于点N，若 $| P M | ^ { + } | P N | \leqslant 1 5$ ，求k的取值范围.
(1) $\frac { x ^ { 2 } } { 5 } + \frac { y ^ { 2 } } { 4 } = 1$; (2) $[ - 3 , - 1 ) \cup ( 1 , 3 ]$
先把常见基础得分点练稳，再回来处理综合题。
【答案】① $\frac { x ^ { 2 } } { 5 } + \frac { y ^ { 2 } } { 4 } = 1$ ； ② $[ - 3 , - 1 ) \cup ( 1 , 3 ]$
【解析】
【分析】（1）根据椭圆所过的点及四个顶点围成的四边形的面积可求 $^ { a , b }$ ，从而可求椭圆的标准方程
> ② 设 $B \big ( x _ { 1 } , y _ { 1 } \big ) , C \big ( x _ { 2 } , y _ { 2 } \big )$ ，求出直线 $A B , A C$ 的方程后可得M,N的横坐标，从而可得 $\left| P M \right| + \left| P N \right|$ 联立直线BC的方程和椭圆的方程，结合韦达定理化简 $\left| P M \right| + \left| P N \right|$ ，从而可求k的范围，注意判别式的要求.
【详解】（1）因为椭圆过 $A ( 0 , - 2 )$ ，故 $b = 2$
因为四个顶点围成的四边形的面积为 $4 { \sqrt { 5 } }$ ，故 ${ \frac { 1 } { 2 } } \times 2 a \times 2 b = 4 { \sqrt { 5 } }$ ，即 $a = { \sqrt { 5 } }$
故椭圆的标准方程为： $\frac { x ^ { 2 } } { 5 } + \frac { y ^ { 2 } } { 4 } = 1$
(2)
设 $B \big ( x _ { 1 } , y _ { 1 } \big ) , C \big ( x _ { 2 } , y _ { 2 } \big )$
因为直线BC的斜率存在，故 $x _ { 1 } x _ { 2 } \neq 0$
故直线 $A B : y = { \frac { y _ { 1 } + 2 } { x _ { 1 } } } x - 2$ ，令 $y = - 3$ ，则 $x _ { { M } } = - \frac { x _ { 1 } } { y _ { 1 } + 2 }$ ，同理 $x _ { _ { N } } = - { \frac { x _ { _ { 2 } } } { y _ { _ { 2 } } + 2 } }$
直线 $B C : y = k x - 3$ ，由 ${ \left\{ \begin{array} { l l } { y = k x - 3 } \\ { 4 x ^ { 2 } + 5 y ^ { 2 } = 2 0 } \end{array} \right. }$ 可得 $\left( 4 + 5 k ^ { 2 } \right) x ^ { 2 } - 3 0 k x + 2 5 = 0$
故 $\Delta = 9 0 0 k ^ { 2 } - 1 0 0 \big ( 4 + 5 k ^ { 2 } \big ) > 0$ ，解得 $k < - 1$ 或 $k > 1$
又 $x _ { 1 } + x _ { 2 } = \frac { 3 0 k } { 4 + 5 k ^ { 2 } } , x _ { 1 } x _ { 2 } = \frac { 2 5 } { 4 + 5 k ^ { 2 } }$ ，故 $x _ { 1 } x _ { 2 } > 0$ ，所以 $x _ { M } x _ { N } > 0$
$$ \mathcal { \ K } \left| P M \right| + \left| P N \right| = \left| x _ { M } + x _ { N } \right| = \left| \frac { x _ { 1 } } { y _ { 1 } + 2 } + \frac { x _ { 2 } } { y _ { 2 } + 2 } \right| $$
$$ = | { \frac { x _ { 1 } } { k x _ { 1 } - 1 } } + { \frac { x _ { 2 } } { k x _ { 2 } - 1 } } | = | { \frac { 2 k x _ { 1 } x _ { 2 } - { \bigl ( } x _ { 1 } + x _ { 2 } { \bigr ) } } { k ^ { 2 } x _ { 1 } x _ { 2 } - k { \bigl ( } x _ { 1 } + x _ { 2 } { \bigr ) } + 1 } } | = | { \frac { { \frac { 5 0 k } { 4 + 5 k ^ { 2 } } } - { \frac { 3 0 k } { 4 + 5 k ^ { 2 } } } } { \displaystyle { \frac { 2 5 k ^ { 2 } } { 4 + 5 k ^ { 2 } } } - { \frac { 3 0 k ^ { 2 } } { 4 + 5 k ^ { 2 } } } + 1 } } = 5 { \bigl | } k { \bigr | } $$
故 $5 | k | \leq 1 5$ 即 $\left| k \right| \leq 3$
综上， $- 3 \leq k < - 1$ 或 $1 < k \leq 3$