（5分）设F为抛物线C： y ^ 2 = 3 x 的焦点，…——2014 高考数学第 10 题答案解析

【考点】K8：抛物线的性质

【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程

【分析】求出焦点坐标，利用点斜式求出直线的方程，代入抛物线的方程，利用根与系数的关系，由弦长公式求得 $\left| \mathsf { A B } \right|$

【解答】解：由 $y ^ { 2 } = 3 x$ 得其焦点 $\textsf { F } ( \frac { 3 } { 4 } , \ q )$ ，准线方程为 $1 \times = - \frac { 3 } { 4 }$

则过抛物线 $y ^ { 2 } = 3 x$ 的焦点F且倾斜角为 ${ \mathfrak { 3 0 } } ^ { \circ }$ 的直线方程为 $v = \tan 3 0 ^ { \circ } ( x - \frac { 3 } { 4 } ) = \frac { \sqrt { 3 } } { 3 }$ （x $- \frac { 3 } { 4 } )$

代入抛物线方程，消去y，得 $1 6 x ^ { 2 } - 1 6 8 x + 9 = 0$

设 $: { \sf A } ( { \sf x } _ { 1 } , { \sf y } _ { 1 } ) , { \sf B } ( { \sf x } _ { 2 } , { \sf y } _ { 2 } )$

则 $\mathbf { x } _ { 1 } + \mathbf { x } _ { 2 } = \frac { 1 6 8 } { 1 6 } = \frac { 2 1 } { 2 }$ ，

所以 $\left| \mathsf { A B } \right| = \mathsf { x } _ { 1 } + \frac { 3 } { 4 } + \mathsf { x } _ { 2 } + \frac { 3 } { 4 } = \frac { 3 } { 4 } + \frac { 3 } { 4 } + \frac { 2 1 } { 2 } = 1 2$

故选：C

【点评】本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，弦长公式的应用，运用弦长公式是解题的难点和关键