在四棱锥 Q-A B C D 中，底面 A B C D 是…——2021 高考数学第 19 题答案解析

【答案】（1）证明见解析；（2）$\frac{2}{3}$ ．

【解析】

【分析】（1）取 $A D$ 的中点为 $O$ ，连接 $Q O, C O$ ，可证 $Q O \perp$ 平面 $A B C D$ ，从而得到面 $Q A D \perp$ 面 $A B C D$ ．
（2）在平面 $A B C D$ 内，过 $O$ 作 $O T / / C D$ ，交 $B C$ 于 $T$ ，则 $O T \perp A D$ ，建如图所示的空间坐标系，求出平面 $Q A D$ 、平面 $B Q D$ 的法向量后可求二面角的余弦值．

【详解】

（1）取 $A D$ 的中点为 $O$ ，连接 $Q O, C O$ ．

因为 $Q A=Q D, O A=O D$ ，则 $Q O \perp A D$ ，
而 $A D=2, Q A=\sqrt{5}$ ，故 $Q O=\sqrt{5-1}=2$ ．
在正方形 $A B C D$ 中，因为 $A D=2$ ，故 $D O=1$ ，故 $C O=\sqrt{5}$ ，

因为 $Q C=3$ ，故 $Q C^{2}=Q O^{2}+O C^{2}$ ，故 $\triangle Q O C$ 为直角三角形且 $Q O \perp O C$ ，

因为 $O C \cap A D=O$ ，故 $Q O \perp$ 平面 $A B C D$ ，

因为 $Q O \subset$ 平面 $Q A D$ ，故平面 $Q A D \perp$ 平面 $A B C D$ ．
（2）在平面 $A B C D$ 内，过 $O$ 作 $O T / / C D$ ，交 $B C$ 于 $T$ ，则 $O T \perp A D$ ，
结合（1）中的 $Q O \perp$ 平面 $A B C D$ ，故可建如图所示的空间坐标系．

则 $D(0,1,0), Q(0,0,2), B(2,-1,0)$ ，故 $\overrightarrow{B Q}=(-2,1,2), \overrightarrow{B D}=(-2,2,0)$ ．
设平面 $Q B D$ 的法向量 $\vec{n}=(x, y, z)$ ，
则 $\left\{\begin{array}{l}\vec{n} \cdot \overrightarrow{B Q}=0 \\ \vec{n} \cdot \overrightarrow{B D}=0\end{array}\right.$ 即 $\left\{\begin{array}{l}-2 x+y+2 z=0 \\ -2 x+2 y=0\end{array}\right.$ ，取 $x=1$ ，则 $y=1, z=\frac{1}{2}$ ，
故 $\vec{n}=\left(1,1, \frac{1}{2}\right)$ ．
而平面 $Q A D$ 的法向量为 $\vec{m}=(1,0,0)$ ，故 $\cos \langle\vec{m}, \vec{n}\rangle=\frac{1}{1 \times \frac{3}{2}}=\frac{2}{3}$ ．
二面角 $B-Q D-A$ 的平面角为锐角，故其余弦值为 $\frac{2}{3}$ ．