设三棱锥V ABC- 的底面是正三角形，侧棱长均相等， P…——2019 高考数学第 8 题答案解析

【答案】B【解析】【分析】

本题以三棱锥为载体，综合考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念，以及各种角的计算.解答的基本方法是通过明确各种角，应用三角函数知识求解，而后比较大小.而充分利用图形特征，则可事倍功半.

【详解】方法 1：如图G 为AC中点，V 在底面ABC的投影为O ，则 P 在底面投影D在线段AO上，过D作 DE 垂直 AE ，易得 PE VG/ / ，过 P 作 PF AC// 交VG 于 F ，过 D作 DH AC/ / ，交 BG 于 H，则$\mathsf { \alpha } = \angle B P F , \quad \mathsf { \beta } = \angle P B D , \gamma = \angle P E D$ ， 则 $\cos \alpha = \frac { P F } { P B } = \frac { E G } { P B } = \frac { D H } { P B } < \frac { B D } { P B } = \cos \beta$ ， 即 $\alpha > \beta$ $\tan \gamma = { \frac { P D } { E D } } > { \frac { P D } { B D } } = \tan \beta$ ，即 $y > \beta$ ，综上所述，答案为B.

**方法二**：由最小角定理 $\beta { < } \alpha$ ，记 $V - A B - C$ 的平面角为 $\gamma ^ { \prime }$ （显然 $\gamma ^ { \prime } = \gamma )$

由最大角定理 $\beta < \gamma ^ { \prime } = \gamma$ ，故选 B.

法 2：（特殊位置）取V ABC- 为正四面体， P 为VA中点，易得

$\cos \alpha = { \frac { \sqrt { 3 } } { 6 } } \Rightarrow \sin \alpha = { \frac { \sqrt { 3 3 } } { 6 } } , \sin \beta = { \frac { \sqrt { 2 } } { 3 } } , \sin \gamma = { \frac { 2 { \sqrt { 2 } } } { 3 } }$ ，故选 B.

【点睛】常规解法下易出现的错误有，不能正确作图得出各种角.未能想到利用“特殊位置法”，寻求简便解

法.