已知正三棱台的高为 1，上、下底面边长分别为 3 3 和…——2022 高考数学第 7 题答案解析

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径 $r_{1}, r_{2}$ ，再根据球心距，圆面半径，以及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积．

【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径 $r_{1}, r_{2}$ ，所以 $2 r_{1}=\frac{3 \sqrt{3}}{\sin 60^{\circ}}, 2 r_{2}=\frac{4 \sqrt{3}}{\sin 60^{\circ}}$ ，即 $r_{1}=3, r_{2}=4$ ，设球心到上下底面的距离分别为 $d_{1}, d_{2}$ ，球的半径为 $R$ ，所以 $d_{1}=\sqrt{R^{2}-9}, d_{2}=\sqrt{R^{2}-16}$ ，故 $\left|d_{1}-d_{2}\right|=1$ 或 $d_{1}+d_{2}=1$ ，即 $\left|\sqrt{R^{2}-9}-\sqrt{R^{2}-16}\right|=1$ 或 $\sqrt{R^{2}-9}+\sqrt{R^{2}-16}=1$ ，解得 $R^{2}=25$ 符合题意，所以球的表面积为 $S=4 \pi R^{2}=100 \pi$ ．

故选：A．