（本小题满分 13 分） 已知函数 f(x)=cos x…——2014 高考数学第 15 题答案解析

【解答】
（本小题满分 13 分）
【解析】（1）由已知，有
$f(x)=\cos x \cdot\left(\frac{1}{2} \sin x+\frac{\sqrt{3}}{2} \cos x\right)-\sqrt{3} \cos ^{2} x+\frac{\sqrt{3}}{4}$
$=\frac{1}{2} \sin x \cdot \cos x-\frac{\sqrt{3}}{2} \cos ^{2} x+\frac{\sqrt{3}}{4}$
$=\frac{1}{4} \sin 2 x-\frac{\sqrt{3}}{4}(1+\cos 2 x)+\frac{\sqrt{3}}{4}$
$=\frac{1}{4} \sin 2 x-\frac{\sqrt{3}}{4} \cos 2 x$
$=\frac{1}{2} \sin \left(2 x-\frac{\pi}{3}\right)$ ．
所以，$f(x)$ 的最小正周期 $T=\frac{2 \pi}{2}=\pi$ ．
②$x \in\left[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right]$ 时， $2 x-\frac{\pi}{3} \in\left[-\frac{5}{6} \pi, \frac{\pi}{6}\right]$ ，
$\sin \left(2 x-\frac{\pi}{3}\right) \in\left[-1, \frac{1}{2}\right]$ ，从而 $f(x) \in\left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{4}\right]$ ．
即函数 $f(x)$ 在闭区间 $\left[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right]$ 上的最大值为 $\frac{1}{4}$ ，最小值为 $-\frac{1}{2}$ ．