（12分）设椭圆C： x ^ 2 2 + y ^ 2 =…——2018 高考数学第 19 题答案解析

【考点】KL：直线与椭圆的综合

【专题】15：综合题；38：对应思想；4R：转化法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题

【分析】（1）先得到F的坐标，再求出点A的方程，根据两点式可得直线方程，

（2）分三种情况讨论，根据直线斜率的问题，以及韦达定理，即可证明

【解答】解：（1） $\mathsf { c } { = } \sqrt { 2 - 1 } { = } 1$

$\therefore { \mathsf { F } } \left( 1 , \ 0 \right)$

∵l与x轴垂直，

由 $\left\{ { \begin{array} { l } { \mathbf { x } = 1 } \\ { \frac { \mathbf { x } ^ { 2 } } { 2 } } \end{array} } + \mathbf { y } ^ { 2 } = 1 \right.$ ，解得 $\left\{ \begin{array} { l l } { \mathbf { x } = 1 } \\ { \mathbf { y } = { \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } } } \end{array} \right.$ 或 $\left\{ \begin{array} { l l } { \mathbf { x } = 1 } \\ { \mathbf { y } = { \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } } } \end{array} \right.$

$\therefore \mathsf { A } ( 1 . { \frac { { \sqrt { 2 } } } { 2 } } )$ ，或 $( 1 , \quad - \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } )$

∴直线AM的方程为 $1 4 = - \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } x + \sqrt { 2 } , y = \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } x - \sqrt { 2 } ,$

证明：②当l与x轴重合时， $\angle O M A = \angle O M B = 0 ^ { \circ }$

当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线， $\therefore \angle O M A = \angle O M B$

当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为y=k（x﹣1），k≠0，

A $( { \sf x } _ { 1 } , { \sf y } _ { 1 } ) , { \sf B } ( { \sf x } _ { 2 } , { \sf y } _ { 2 } )$ ，则 $\mathsf { x } _ { 1 } < \sqrt { 2 } , \mathsf { x } _ { 2 } < \sqrt { 2 } ,$

直线MA，MB的斜率之和为 $u _ { M A } , k _ { M B } \dot { \ Z }$ 和为 $| { \bf k } _ { \mathsf { M A } } ^ { } + { \bf k } _ { \mathsf { M B } } = \frac { { \bf y } _ { 1 } } { { \bf x } _ { 1 } - 2 } + \frac { { \bf y } _ { 2 } } { { \bf x } _ { 2 } - 2 } ,$

由 $\forall \boldsymbol { \mathsf { 1 } } \boldsymbol { \mathsf { = k } } \mathsf { x } _ { 1 } - \mathsf { k } , ~ \mathsf { y } _ { 2 } \boldsymbol { \mathsf { = k } } \mathsf { x } _ { 2 } -$ k得 ${ \bf k } _ { \mathrm { M A } } + { \bf k } _ { \mathrm { M B } } = \frac { 2 \mathrm { k } \mathrm { x } _ { 1 } \mathrm { x } _ { 2 } - 3 \mathrm { k } ( \mathrm { \bf ~ x } _ { 1 } + \mathrm { \bf ~ x } _ { 2 } ) + 4 \mathrm { k } } { ( \mathrm { \bf ~ x } _ { 1 } - 2 ) ( \mathrm { \bf ~ x } _ { 2 } - 2 ) } ,$

将 $\dot { \mathbf { \gamma } } \mathbf { = } \mathbf { k } \left( \mathbf { \updownarrow } - 1 \right)$ 代入 $\frac { \tt x ^ { 2 } } { 2 } + y ^ { 2 } = 1$ 可得 $( 2 \mathsf { k } ^ { 2 } + 1 ) \mathsf { x } ^ { 2 } - 4 \mathsf { k } ^ { 2 } \mathsf { x } + 2 \mathsf { k } ^ { 2 } - 2 = 0$

$$ \therefore x _ { 1 } + x _ { 2 } = { \frac { 4 \mathrm { k } ^ { 2 } } { 2 \mathrm { k } ^ { 2 } + 1 } } , x _ { 1 } x _ { 2 } = { \frac { 2 \mathrm { k } ^ { 2 } - 2 } { 2 \mathrm { k } ^ { 2 } + 1 } } , $$

$$ 2 \mathsf { k x } _ { 1 } \mathsf { x } _ { 2 } - 3 \mathsf { k } \ \left( \mathsf { x } _ { 1 } + \mathsf { x } _ { 2 } \right) \ + 4 \mathsf { k } = \frac { 1 } { 2 \mathsf { k } ^ { 2 } + 1 } \ \left( 4 \mathsf { k } ^ { 3 } - 4 \mathsf { k } - 1 2 \mathsf { k } ^ { 3 } + 8 \mathsf { k } ^ { 3 } + 4 \mathsf { k } \right) \ = 0 $$

从而 $k _ { \mathrm { M A } } ^ { \mathrm { } } + k _ { \mathrm { M B } } = 0$

故MA，MB的倾斜角互补，

$\therefore \angle O M A = \angle O M B$

综上 $\angle O M A = \angle O M B$

【点评】本题考查了直线和椭圆的位置关系，以韦达定理，考查了运算能力和转化能力，属于中档题