设 a>1，若仅有一个常数 c 使得对于任意的 x [a,…——2008 高考数学第 16 题答案解析

【解答】
（4分）（2008 • 天津）设 $a>1$ ，若仅有一个常数 $c$ 使得对于任意的 $x \in[a, 2 a]$ ，都有 $\mathrm{y} \in\left[\mathrm{a}, \mathrm{a}^{2}\right]$ 满足方程 $\log _{\mathrm{a}} \mathrm{x}+\log _{\mathrm{a}} \mathrm{y}=\mathrm{c}$ ，这时 a 的取值的集合为 $\_\_\_\_$ \｛2\}。
【考点】对数的运算性质；函数单调性的性质．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】由 $\log _{\mathrm{a}} \mathrm{x}+\log _{\mathrm{a}} \mathrm{y}=\mathrm{c}$ 可以用 x 表达出 y ，转化为函数的值域问题求解．
【解答】解：$\because \log _{\mathrm{a}} \mathrm{x}+\log _{\mathrm{a}} \mathrm{y}=\mathrm{c}$ ，
$\therefore \log _{\mathrm{a}}^{\mathrm{xy}}=\mathrm{c}$
$\therefore \mathrm{xy}=\mathrm{a}^{\mathrm{c}}$
得 $y=\frac{a^{c}}{x}$ ，单调递减，所以当 $x \in[a, 2 a]$ 时，$y \in\left[\frac{a^{c-1}}{2}, a^{c-1}\right]$
所以 $\left\{\begin{array}{l}\frac{a^{c-1}}{2} \geqslant a \\ a^{c-1} \leqslant a^{2}\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}c \geqslant 2+1 o g_{a} 2 \\ c \leqslant 3\end{array}\right.\right.$, 因为有且只有一个常数 $c$ 符合题意，所以
$2+\log _{a} 2=3$ ，解得 $a=2$ ，所以 $a$ 的取值的集合为 $\{2\}$ ．
故答案为：$\{2\}$

【点评】本题考查函数与方程思想，需要有较强的转化问题的能力．

【解答】
$\{2\}$

【解答】
（4分）（2008 • 天津）设 $a>1$ ，若仅有一个常数 $c$ 使得对于任意的 $x \in[a, 2 a]$ ，都有 $\mathrm{y} \in\left[\mathrm{a}, \mathrm{a}^{2}\right]$ 满足方程 $\log _{\mathrm{a}} \mathrm{x}+\log _{\mathrm{a}} \mathrm{y}=\mathrm{c}$ ，这时 a 的取值的集合为 $\_\_\_\_$ \｛2\}。
【考点】对数的运算性质；函数单调性的性质．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】由 $\log _{\mathrm{a}} \mathrm{x}+\log _{\mathrm{a}} \mathrm{y}=\mathrm{c}$ 可以用 x 表达出 y ，转化为函数的值域问题求解．
【解答】解：$\because \log _{\mathrm{a}} \mathrm{x}+\log _{\mathrm{a}} \mathrm{y}=\mathrm{c}$ ，
$\therefore \log _{\mathrm{a}}^{\mathrm{xy}}=\mathrm{c}$
$\therefore \mathrm{xy}=\mathrm{a}^{\mathrm{c}}$
得 $y=\frac{a^{c}}{x}$ ，单调递减，所以当 $x \in[a, 2 a]$ 时，$y \in\left[\frac{a^{c-1}}{2}, a^{c-1}\right]$
所以 $\left\{\begin{array}{l}\frac{a^{c-1}}{2} \geqslant a \\ a^{c-1} \leqslant a^{2}\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}c \geqslant 2+1 o g_{a} 2 \\ c \leqslant 3\end{array}\right.\right.$, 因为有且只有一个常数 $c$ 符合题意，所以
$2+\log _{a} 2=3$ ，解得 $a=2$ ，所以 $a$ 的取值的集合为 $\{2\}$ ．
故答案为：$\{2\}$

【点评】本题考查函数与方程思想，需要有较强的转化问题的能力．