2015_浙江卷 (2015·文)
15．（4分）（2015•浙江）椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的右焦点 $F(c, 0)$ 关于直线 $y=\frac{b}{c} x$ 的对称点 Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是 $-\frac{\sqrt{2}}{2}$－
考点：椭圆的简单性质．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：设出 Q 的坐标，利用对称知识，集合椭圆方程推出椭圆几何量之间的关系，然后求解离心率即可。
$\frac{\sqrt{2}}{2}$
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
解答：
解：不妨令 $\mathrm{c}=1$ ，设 $\mathrm{Q}(\mathrm{m}, \mathrm{n})$ ，由题意可得 $\left\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{m}-\mathrm{c}}=-\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{b}} \cdots(1) \\ \frac{\mathrm{n}}{2}=\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{c}} \cdot \frac{\mathrm{m}+\mathrm{c}}{2} \cdots(2) \\ \frac{\mathrm{m}^{2}}{\mathrm{a}^{2}}+\frac{\mathrm{n}^{2}}{\mathrm{~b}^{2}}=1 \cdots(3)\end{array}\right.$ ，即：
$$ \left\{\begin{array}{l} \frac{n}{m-1}=-\frac{1}{b} \cdots(1) \\ \frac{n}{2}=b \cdot \frac{m+1}{2} \cdots(2) \\ \frac{m^{2}}{a^{2}}+\frac{n^{2}}{b^{2}}=1 \cdots(3) \end{array}\right. $$
由（1）（2）可得：$m=\frac{c^{3}-c b^{2}}{a^{2}}, n=\frac{2 b c^{2}}{a^{2}}$ ，代入（3）可得：
$$ \frac{\left(\frac{c^{3}-c b^{2}}{a^{2}}\right)^{2}}{a^{2}}+\frac{\left(\frac{2 b c^{2}}{a^{2}}\right)^{2}}{b^{2}}=1 $$
解得 $e^{2}\left(4 e^{4}-4 e^{2}+1\right)+4 e^{2}=1$ ，
可得， $4 e^{6}+e^{2}-1=0$ ．
即 $4 \mathrm{e}^{6}-2 \mathrm{e}^{4}+2 \mathrm{e}^{4}-\mathrm{e}^{2}+2 \mathrm{e}^{2}-1=0$ ，
可得 $\left(2 \mathrm{e}^{2}-1\right)\left(2 \mathrm{e}^{4}+\mathrm{e}^{2}+1\right)=0$
解得 $\mathrm{e}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．
点评：本题考查椭圆的方程简单性质的应用，考查对称知识以及计算能力．