2019_浙江卷
14. 在 $ { \mathsf { V } } A B C$ 中， $\angle A B C = 9 0 ^ { \circ }$ $A B = 4$ $B C = 3$ ，点D在线段 A C 上，若 $\angle B D C = 4 5 ^ { \circ }$ ，则BD = \_\_\_\_； $\cos \angle A B D =$
(1) $\frac { 1 2 { \sqrt { 2 } } } { 5 }$; (2) $\frac { 7 { \sqrt { 2 } } } { 1 0 }$
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【答案】 (1). $\frac { 1 2 { \sqrt { 2 } } } { 5 }$ (2). $\frac { 7 { \sqrt { 2 } } } { 1 0 }$
【解析】【分析】
本题主要考查解三角形问题，即正弦定理、三角恒等变换、数形结合思想及函数方程思想.通过引入$C D = x$ ，在 $\Delta B D C$ 、DABD中应用正弦定理，建立方程，进而得解..
【详解】在 $\Delta A B D$ 中，正弦定理有： $\frac { A B } { \sin \angle A D B } = \frac { B D } { \sin \angle B A C }$ ，而 $\ A B = 4 , \angle A D B = \frac { 3 \pi } { 4 }$
$\mathrm { A C } = \sqrt { \mathrm { A B } ^ { 2 } + \mathrm { B C } ^ { 2 } } = 5$ $\sin \angle B A C = \frac { B C } { A C } = \frac { 3 } { 5 } , \cos \angle B A C = \frac { A B } { A C } = \frac { 4 } { 5 }$ ，所以 $B D = \frac { 1 2 \sqrt { 2 } } { 5 }$
$$ \cos \angle A B D = \cos ( \angle B D C - \angle B A C ) = \cos { \frac { \pi } { 4 } } \cos \angle B A C + \sin { \frac { \pi } { 4 } } \sin \angle B A C = { \frac { 7 { \sqrt { 2 } } } { 1 0 } } $$
【点睛】解答解三角形问题，要注意充分利用图形特征.