已知正三棱台 A B C - A _ 1 B _ 1 C…——2024 高考数学第 7 题答案解析

【解析】

【分析】解法一：根据台体 体积公式可得三棱台的高的 $h = \frac { 4 \sqrt { 3 } } { 3 }$ ，做辅助线，结合正三棱台的结构特征求得 $A M = \frac { 4 \sqrt { 3 } } { 3 }$ ，进而根据线面夹角的定义分析求解；解法二：将正三棱台 $A B C - A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 }$ 补成正三棱锥$P - A B C$ $A _ { 1 } A$ 与平面ABC所成角即为PA与平面ABC所成角，根据比例关系可得 $V _ { P - A B C } = 1 8$ ，进而可求正三棱锥 $P - A B C$ 的高，即可得结果.【详解】解法一：分别取 $B C , B _ { 1 } C _ { 1 }$ 的中点D D, ，则 $A D = 3 { \sqrt { 3 } } , A _ { 1 } D _ { 1 } = { \sqrt { 3 } }$ 可知 $S _ { \scriptscriptstyle { \text A B C } } = \frac { 1 } { 2 } \times 6 \times 6 \times \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } = 9 \sqrt { 3 } , S _ { \scriptscriptstyle { { { { ering } } } } } = \frac { 1 } { 2 } \times 2 \times \sqrt { 3 } = \sqrt { 3 }$ 设正三棱台 $A B C - A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 }$ 的为h，则 $V _ { _ { A B C - A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 } } } = { \frac { 1 } { 3 } } \bigg ( 9 \sqrt { 3 } + \sqrt { 3 } + \sqrt { 9 \sqrt { 3 } \times \sqrt { 3 } } \bigg ) h = { \frac { 5 2 } { 3 } }$ ，解得 $h = \frac { 4 \sqrt { 3 } } { 3 }$ 如图，分别过 $A _ { 1 } , D _ { 1 }$ 作底面垂线，垂足为M N, ，设 $A M = x$

则 $A A _ { 1 } = \sqrt { A M ^ { 2 } + A _ { 1 } M ^ { 2 } } = \sqrt { x ^ { 2 } + \frac { 1 6 } { 3 } } , D N = A D - A M - M N = 2 \sqrt { 3 } - x$ 可得 $D D _ { 1 } = { \sqrt { D N ^ { 2 } + D _ { 1 } N ^ { 2 } } } = { \sqrt { \left( 2 { \sqrt { 3 } } - x \right) ^ { 2 } + { \frac { 1 6 } { 3 } } } }$ 结合等腰梯形 $B C C _ { 1 } B _ { 1 }$ 可得 $B B _ { 1 } ^ { 2 } = \left( { \frac { 6 - 2 } { 2 } } \right) ^ { 2 } + D D _ { 1 } ^ { 2 }$ 即 $x ^ { 2 } + { \frac { 1 6 } { 3 } } = \left( 2 { \sqrt { 3 } } - x \right) ^ { 2 } + { \frac { 1 6 } { 3 } } + 4$ ，解得 $x = \frac { 4 { \sqrt { 3 } } } { 3 }$ 所以 $A _ { 1 } A$ 与平面ABC所成角的正切值为 $\tan \Theta \cal A _ { 1 } \cal A \cal D = \frac { \cal A _ { 1 } \cal M } { \cal A \cal M } = 1$ 解法二：将正三棱台 $A B C - A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 }$ 补成正三棱锥 $P - A B C$

则 $A _ { 1 } A$ 与平面ABC所成角即为PA与平面ABC所成角，

因为 ${ \frac { P A _ { 1 } } { P A } } { = } { \frac { A _ { 1 } B _ { 1 } } { A B } } { = } { \frac { 1 } { 3 } }$ ，则 $\frac { V _ { P - A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 } } } { V _ { P - A B C } } = \frac { 1 } { 2 7 }$

可知 $V _ { _ { A B C - A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 } } } = \frac { 2 6 } { 2 7 } V _ { _ { P - A B C } } = \frac { 5 2 } { 3 }$ ，则 $V _ { P - A B C } = 1 8$

设正三棱锥 $P - A B C$ 的高为d，则 $V _ { P - A B C } = \frac { 1 } { 3 } d \times \frac { 1 } { 2 } \times 6 \times 6 \times \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } = 1 8$ ，解得 $d = 2 { \sqrt { 3 } }$ 取底面ABC的中心为O，则PO ^底面ABC，且 $A O = 2 { \sqrt { 3 } }$ 所以PA与平面ABC所成角的正切值 $\tan \angle P A O = { \frac { P O } { A O } } = 1$

故选：B.