（2014）（本题满分16分） 本题共有 3 个小题，第…——2014 高考数学第 22 题答案解析

【解析】：（1）将 $A(1,2), B(-1,0)$ 分别代入 $x+y-1$ ，得 $(1+2-1) \times(-1-1)=-4<0$
∴ 点 $A(1,2), B(-1,0)$ 被直线 $x+y-1=0$ 分割
> （2）联立 $\left\{\begin{array}{c}x^{2}-4 y^{2}=1 \\ y=k x\end{array}\right.$ ，得 $\left(1-4 k^{2}\right) x^{2}=1$ ，依题意，方程无解，

$\therefore 1-4 k^{2} \leq 0, \therefore k \leq-\frac{1}{2}$ 或 $k \geq \frac{1}{2}$
> ③设 $M(x, y)$ ，则 $\sqrt{x^{2}+(y-2)^{2}}|x|=1$ ，
∴ 曲线 $E$ 的方程为 $\left[x^{2}+(y-2)^{2}\right] x^{2}=1$①
当斜率不存在时，直线 $x=0$ ，显然与方程（1）联立无解，
又 $P_{1}(1,2), P_{2}(-1,2)$ 为 $E$ 上两点，且代入 $x=0$ ，有 $\eta=-1<0$ ，
$\therefore x=0$ 是一条分割线；
当斜率存在时，设直线为 $y=k x$ ，代入方程得：$\left(k^{2}+1\right) x^{4}-4 k x^{3}+4 x^{2}-1=0$

令 $f(x)=\left(k^{2}+1\right) x^{4}-4 k x^{3}+4 x^{2}-1$ ，则 $f(0)=-1$ ，
$f(1)=k^{2}+1-4 k+3=(k-2)^{2}, \quad f(-1)=k^{2}+1+4 k+3=(k+2)^{2}$,
当 $k \neq 2$ 时，$f(1)>0, \therefore f(0) f(1)<0$ ，即 $f(x)=0$ 在 $(0,1)$ 之间存在实根，
$\therefore y=k x$ 与曲线 $E$ 有公共点
当 $k=2$ 时，$f(0) f(-1)<0$ ，即 $f(x)=0$ 在 $(-1,0)$ 之间存在实根，
$\therefore y=k x$ 与曲线 $E$ 有公共点
∴ 直线 $y=k x$ 与曲线 $E$ 始终有公共点，∴ 不是分割线，
综上，所有通过原点的直线中，有且仅有一条直线 $x=0$ 是 $E$ 的分割线