2014 上海卷 · 理 数学

（2014）函数 $y=1-2 \cos ^{2}(2 x)$ 的最小正周期是 $\_\_\_\_$ ．

本考试分设试卷和答题纸。

试卷包括试题与答题要求．
作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．

2．（2014）若复数 $z=1+2 i$ ，其中 $i$ 是虚数单位，则 $\left(z+\frac{1}{\bar{z}}\right) \cdot \bar{z}=$ $\_\_\_\_$ ．

（2014）若抛物线 $y^{2}=2 p x$ 的焦点与椭圆 $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{5}=1$ 的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为 $\_\_\_\_$ ．

（2014）设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x, & x \in(-\infty, a), \\ x^{2}, & x \in[a,+\infty) .\end{array}\right.$ 若 $f(2)=4$ ，则 $a$ 的取值范围为 $\_\_\_\_$ ．

（2014）若实数 $x, y$ 满足 $x y=1$ ，则 $x^{2}+2 y^{2}$ 的最小值为 $\_\_\_\_$ ．

（2014）若圆锥的侧面积是底面积的 3 倍，则其母线与底面夹角的大小为 （结果用反三角函数值表示）。

（2014）已知曲线 $C$ 的极坐标方程为 $\rho(3 \cos \theta-4 \sin \theta)=1$ ，则 $C$ 与极轴的交点到极点的距离是 $\_\_\_\_$ ．

（2014）设无穷等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公比为 $q$ ，若 $a_{1}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{3}+a_{4}+\cdots+a_{n}\right)$ ，则 $q=$

（2014）若 $f(x)=x^{\frac{2}{3}}-x^{-\frac{1}{2}}$ ，则满足 $f(x)<0$ 的 $x$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$ ．

（2014）为强化安全意识，某商场拟在未来的连续 10 天中随机选择 3 天进行紧急疏散演练 ，则 选择的 3 天恰好为连续 3 天的概率是 $\_\_\_\_$ （结果用最简分数表示）。

（2014）设常数 $a$ 使方程 $\sin x+\sqrt{3} \cos x=a$ 在闭区间 $[0,2 \pi]$ 上恰有三个解 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ ，则 $x_{1}+x_{2}+x_{3}=$ $\_\_\_\_$ ．

（2014）某游戏的得分为 $1,2,3,4,5$ ，随机变量 $\xi$ 表示小白玩该游戏的得分．若 $E(\xi)=4.2$ ，则小白得 5 分的概率至少为 $\_\_\_\_$ ．

（2014）已知曲线 $C: x=-\sqrt{4-y^{2}}$ ，直线 $l: x=6$ ．

若对于点 $A(m, 0)$ ，存在 $C$ 上的点 $P$ 和 $l$ 上的 $Q$ 使得 $\overrightarrow{A P}+\overrightarrow{A Q}=\overrightarrow{0}$ ，则 $m$ 的取值范围为

（2014）设 $a, b \in \mathbf{R}$ ，则＂$a+b>4$＂是＂$a>2$ 且 $b>2$＂的

（2014）如图，四个棱长为 1 的正方体排成一个正四

棱柱，$A B$ 是一条侧棱，$P_{i}(i=1,2, \cdots, 8)$是上底面上其余的八个点，则 $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A P}_{i}(i=1,2, \ldots, 8)$ 的不同值的个数为

（2014）已知 $P_{1}\left(a_{1}, b_{1}\right)$ 与 $P_{2}\left(a_{2}, b_{2}\right)$ 是直线 $y=k x+1$（ $k$ 为常数）上两个不同的点 ，则关于 $x$ 和 $y$ 的方程组 $\left\{\begin{array}{l}a_{1} x+b_{1} y=1, \\ a_{2} x+b_{2} y=1\end{array}\right.$ 的解的情况是（ ）

（2014）设 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}(x-a)^{2}, x \leq 0, \\ x+\frac{1}{x}+a, x>0 .\end{array}\right.$ 若 $f(0)$ 是 $f(x)$ 的最小值，则 $a$ 的取值范围为（ ）

（2014）（本题满分12分）
底面边长为 2 的正三棱锥 $P-A B C$ ，其表面展开图是三角形 $P_{1} P_{2} P_{3}$ ，如图．

求 $\triangle P_{1} P_{2} P_{3}$ 的各边长及此三棱锥的体积 $V$ ．

（2014）（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分．
设常数 $a \geq 0$ ，函数 $f(x)=\frac{2^{x}+a}{2^{x}-a}$ ．
（1）若 $a=4$ ，求函数 $y=f(x)$ 的反函数 $y=f^{-1}(x)$ ；
（2）根据 $a$ 的不同取值，讨论函数 $y=f(x)$ 的奇偶性，并说明理由．

（2014）（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分．
如图，某公司要在 $A , B$ 两地连线上的定点 $C$ 处建造广告牌 $C D$ ，其中 $D$ 为顶端，$A C$ 长 35 米，$C B$ 长 80 米．

设点 $A , B$ 在同一水平面上，从 $A$ 和 $B$ 看 $D$ 的仰角分别为 $\alpha$ 和 $\beta$ ．
①设计中 $C D$ 是铅垂方向．若要求 $\alpha \geq 2 \beta$ ，问 $C D$ 的长至多为多少（结果精确到 0.01 米）？
（2）
施工完成后，$C D$ 与铅垂方向有偏差．现在实测得 $\alpha=38.12^{\circ}, \beta=18.45^{\circ}$ ，求 $C D$ 的长 （结果精确到 0.01 米）。

（2014）（本题满分16分）
本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 3 分，第 2 小题满分 5 分，第 3 小题满分 8 分。
在平面直角坐标系 $x O y$ 中，对于直线 $l: a x+b y+c=0$ 和点 $P_{1}\left(x_{1}, y_{1}\right), P_{2}\left(x_{2}, y_{2}\right)$ ，记 $\eta=\left(a x_{1}+b y_{1}+c\right)\left(a x_{2}+b y_{2}+c\right)$ ．若 $\eta<0$ ，则称点 $P_{1}, P_{2}$ 被直线 $l$ 分割．若曲线 $C$ 与直线 $l$ 没有公共点，且曲线 $C$ 上存在点 $P_{1}, P_{2}$ 被直线 $l$ 分割，则称直线 $l$ 为曲线 $C$ 的一条分割线．
（1）求证：点 $A(1,2), B(-1,0)$ 被直线 $x+y-1=0$ 分割；
（2）若直线 $y=k x$ 是曲线 $x^{2}-4 y^{2}=1$ 的分割线，求实数 $k$ 的取值范围；
（3）动点 $M$ 到点 $Q(0,2)$ 的距离与到 $y$ 轴的距离之积为 1 ，设点 $M$ 的轨迹为曲线 $E$ ．
求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是 $E$ 的分割线．

（2014）（本题满分 18 分）
本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 3 分，第 2 小题满分 7 分，第 3 小题满分 8 分。
已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $\frac{1}{3} a_{n} \leq a_{n+1} \leq 3 a_{n}, n \in \mathbf{N}^{*}, a_{1}=1$ ．
（1）若 $a_{2}=2, a_{3}=x, a_{4}=9$ ，求 $x$ 的取值范围；
②设 $\left\{a_{n}\right\}$ 是公比为 $q$ 的等比数列，$S_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}$ ．若 $\frac{1}{3} S_{n} \leq S_{n+1} \leq 3 S_{n}, n \in \mathbf{N}^{*}$ ，求 $q$ 的取值范围；
（3）若 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{k}$ 成等差数列，且 $a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{k}=1000$ ，求正整数 $k$ 的最大值，以及
$k$ 取最大值时相应数列 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{k}$ 的公差．