设函数 f(x) 的定义域为 R，满足 f(x+1)=2…——2019 高考数学第 12 题答案解析

【答案】B

【解析】

【分析】

本题为选择压轴题，考查函数平移伸缩，恒成立问题，需准确求出函数每一段解析式，分析出临界点位置，精准运算得到解决。

【详解】 $\because x \in(0,1]$ 时，$f(x)=x(x-1), f(x+1)=2 f(x), \therefore f(x)=2 f(x-1)$ ，即 $f(x)$右移1个单位，图像变为原来的2倍．

如图所示：当 $2<x \leq 3$ 时，$f(x)=4 f(x-2)=4(x-2)(x-3)$ ，令 $4(x-2)(x-3)=-\frac{8}{9}$ ，整理得： $9 x^{2}-45 x+56=0$ ， $\therefore(3 x-7)(3 x-8)=0, \therefore x_{1}=\frac{7}{3}, x_{2}=\frac{8}{3}$（舍）$\therefore x \in(-\infty, m]$ 时，$f(x) \geq-\frac{8}{9}$ 成立，即 $m \leq \frac{7}{3}, \therefore m \in\left(-\infty, \frac{7}{3}\right]$ ，故选B．

【点睛】易错警示：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学建模能力。