（5分）等边三角形 A B C 与正方形 A B D E…——2008 高考数学第 16 题答案解析

【考点】LM：异面直线及其所成的角；$M J$ ：二面角的平面角及求法．
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】先找出二面角的平面角，建立边之间的等量关系，再利用向量法将所求异面直线用基底表示，然后利用向量的所成角公式求出所成角即可。

【解答】解：设 $A B=2$ ，作 $C O \perp$ 面 $A B D E$ ，
$O H \perp A B$ ，则 $C H \perp A B, \angle C H O$ 为二面角 $C-A B-D$ 的平面角

$$ \mathrm{CH}=\sqrt{3}, \quad \mathrm{OH}=\mathrm{CH} \cdot \cos \angle \mathrm{CHO}=1, $$

结合等边三角形ABC与正方形ABDE可知此四棱锥为正四棱锥，
则 $\mathrm{AN}=\mathrm{EM}=\mathrm{CH}=\sqrt{3} \overrightarrow{\mathrm{AN}}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{\mathrm{AC}}+\overrightarrow{\mathrm{AB}}), \overrightarrow{\mathrm{EM}}=\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{AC}}-\overrightarrow{\mathrm{AE}}$ ，

$$ \overrightarrow{\mathrm{AN}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{EM}}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}) \cdot\left(\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{AC}}-\overrightarrow{\mathrm{AE}}\right)=\frac{1}{2} $$

故EM，AN所成角的余弦值 $\frac{\overrightarrow{\mathrm{AN}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{EM}}}{|\overrightarrow{\mathrm{AN}}||\overrightarrow{\mathrm{EM}}|}=\frac{1}{6}$ 故答案为：$\frac{1}{6}$

【点评】本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．