2011_daganji_old
16．（5分）已知E、F分别在正方体 $\mathsf { A B C D } - \mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { B } _ { 1 } \mathsf { C } _ { 1 } \mathsf { D } _ { 1 }$ 的棱 $\mathsf { B B } _ { 1 } , \mathsf { C C } _ { 1 } \bot$ ，且 $\mathtt { B } _ { 1 } E = 2 E$ B， $C F { = } 2 F C _ { 1 }$ ，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于 $- \frac { \sqrt { 2 } } { 3 }$
$\frac { \sqrt { 2 } } { 3 }$
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【考点】MJ：二面角的平面角及求法
【专题】11：计算题；16：压轴题；31：数形结合
【分析】由题意画出正方体的图形，延长CB、FE交点为S连接AS，过B作BP⊥AS连接PE，所以面AEF与面ABC所成的二面角就是：∠BPE，求出BP与正方体的棱长的关系，然后求出面AEF与面ABC所成的二面角的正切值
【解答】解：由题意画出图形如图：
因为E、F分别在正方体 $\mathsf { A B C D } - \mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { B } _ { 1 } \mathsf { C } _ { 1 } \mathsf { D } _ { 1 }$ 的棱 $\mathsf { B B } _ { 1 } , \mathsf { C C } _ { 1 } \rfloor$ 上，且 $\mathtt { B _ { 1 } E = } 2 \mathtt { E } \mathtt { B }$ $C F { = } 2 F C _ { 1 }$
延长CB、FE交点为S连接AS，过B作BP⊥AS连接PE，所以面AEF与面ABC所成的二
面角就是 $\angle B P E$ ，因为 $\mathsf { B } _ { 1 } \mathsf { E } = 2 \mathsf { E } \mathsf { B } , \mathsf { C } \mathsf { F } = 2 \mathsf { F C } _ { 1 }$
所以BE：CF=1：2
所以SB：SC=1：2，
设正方体的棱长为：a，所以 $\mathsf { A S } \mathsf { = } \sqrt { 2 } \mathsf { a }$ ${ \mathsf { B P } } { = } \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } \bar { \mathsf { a } }$ $B E = \frac { \bar { \mathsf { a } } } { 3 }$ ，在 $\mathsf { R T } \triangle \mathsf { P B E }$ 中， $\tan \angle E P$ $B { = } \frac { \mathrm { B E } } { \mathrm { P B } } { = } \frac { \frac { \tilde { \Omega } } { 3 } } { \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } \tilde { \mathbf { a } } } { \mathbf { a } } { = } \frac { \sqrt { 2 } } { 3 } ,$
故答案为： $\frac { \sqrt { 2 } } { 3 }$
【点评】本题是基础题，考查二面角的平面角的正切值的求法，解题的关键是能够作出二面角的棱，作出二面角的平面角，考查计算能力，逻辑推理能力