2023_省自主命题（湖北）
13. 如图所示，竖直放置在水平桌面上的左右两汽缸粗细均匀，内壁光滑，横截面积分别为S、2S，由体积可忽略的细管在底部连通。两汽缸中各有一轻质活塞将一定质量的理想气体封闭，左侧汽缸底部与活塞用轻质细弹簧相连。初始时，两汽缸内封闭气柱的高度均为 $H ,$ ，弹簧长度恰好为原长。现往右侧活塞上表面缓慢添加一定质量的沙子，直至右侧活塞下降 $\frac { 1 } { 3 } H$ ，左侧活塞上升 $\frac { 1 } { 2 } H$ 。已知大气压强为 $p _ { 0 }$ ，重力加速度大小为 $g$ ，汽缸足够长，汽缸内气体温度始终不变，弹簧始终在弹性限度内。求
（1）最终汽缸内气体的压强。
（2）弹簧的劲度系数和添加的沙子质量。
(1) ${ \frac { 1 8 } { 1 7 } } p _ { 0 }$; (2) $k = \frac { 2 p _ { 0 } S } { 1 7 H } ; m = \frac { 2 p _ { 0 } S } { 1 7 g }$
【答案】（1） ${ \frac { 1 8 } { 1 7 } } p _ { 0 }$ ；（2） $k = \frac { 2 p _ { 0 } S } { 1 7 H } ; m = \frac { 2 p _ { 0 } S } { 1 7 g }$
【解析】
【详解】（1）对左右气缸内所封的气体，初态压强
$$ p _ {1} = p _ {0} $$
体积
$$ V _ {1} = S H + 2 S H = 3 S H $$
末态压强 $p _ { 2 }$ ，体积
$$ V _ {2} = S \cdot \frac {3}{2} H + \frac {2}{3} H \cdot 2 S = \frac {1 7}{6} S H $$
根据玻意耳定律可得
$$ p _ {1} V _ {1} = p _ {2} V _ {2} $$
解得
$$ p _ {2} = \frac {1 8}{1 7} p _ {0} $$
（2）对右边活塞受力分析可知
$$ m g + p _ {0} \cdot 2 S = p _ {2} \cdot 2 S $$
解得
$$ m = \frac {2 p _ {0} S}{1 7 g} $$
对左侧活塞受力分析可知
$$ p _ {0} S + k \cdot \frac {1}{2} H = p _ {2} S $$
解得
$$ k = \frac {2 p _ {0} S}{1 7 H} $$
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