2010 全国高考数学 2010_旧全国 I 卷 (2010·理) 第 12 题答案解析 | 高考数学真题检索

Question

12．（5分）已知在半径为 2 的球面上有 $A 、 B 、 C 、 D$ 四点，若 $A B=C D=2$ ，则四面体 ABCD 的体积的最大值为（）

Accepted Answer

B

【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；ND：球的性质． 【专题】11：计算题；15：综合题；16：压轴题． 【分析】四面体 $A B C D$ 的体积的最大值，$A B$ 与 $C D$ 是对棱，必须垂直，确定球心的位置，即可求出体积的最大值． 【解答】解：过 $C D$ 作平面 $P C D$ ，使 $A B \perp$ 平面 $P C D$ ，交 $A B$ 于 $P$ ，设点 $P$ 到 $C D$ 的距离为 h, 则有 $\mathrm{V}_{	ext {四面体 } \mathrm{ABCD}^{\mathrm{ABCD}}}=\frac{1}{3} 	imes 2 	imes \frac{1}{2} 	imes 2 	imes \mathrm{h}=\frac{2}{3} \mathrm{~h}$ ， 当直径通过 AB 与 CD 的中点时， $\mathrm{h}_{	ext {max }}=2 \sqrt{2^{2}-1^{2}}=2 \sqrt{3}$ ，故 $\mathrm{v}_{	ext {max }}=\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ ． 故选：B． ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/c1574113-b0a6-4884-a201-ffa304075f3c-09.jpg?height=424&width=400&top_left_y=959&top_left_x=306) 【点评】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离，通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力。

2010 高考数学第 12 题答案解析

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