12．（5分）已知在半径为 2 的球面上有 $A , B , C , D$ 四点，若 $A B=C D=2$ ，则四面体 ABCD 的体积的最大值为（）
参考答案B
（5分）已知在半径为 2 的球面上有 A、 B、 C、 D…——2010 高考数学第 12 题答案解析
2010_旧全国 I 卷 (2010·理)
完整解析 · 逐步详解
【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；ND：球的性质．
【专题】11：计算题；15：综合题；16：压轴题．
【分析】四面体 $A B C D$ 的体积的最大值，$A B$ 与 $C D$ 是对棱，必须垂直，确定球心的位置，即可求出体积的最大值．
【解答】解：过 $C D$ 作平面 $P C D$ ，使 $A B \perp$ 平面 $P C D$ ，交 $A B$ 于 $P$ ，设点 $P$ 到 $C D$ 的距离为 h,
则有 $\mathrm{V}_{\text {四面体 } \mathrm{ABCD}^{\mathrm{ABCD}}}=\frac{1}{3} \times 2 \times \frac{1}{2} \times 2 \times \mathrm{h}=\frac{2}{3} \mathrm{~h}$ ，
当直径通过 AB 与 CD 的中点时， $\mathrm{h}_{\text {max }}=2 \sqrt{2^{2}-1^{2}}=2 \sqrt{3}$ ，故 $\mathrm{v}_{\text {max }}=\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ ．
故选：B．
【点评】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离，通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力。
✅ 来源：2010年 · 全国 · 2010_旧全国 I 卷 (2010·理) · 第 12 题 · 本题已通过人工审核与系统自动校验