2008_quanguo_old_ii
20．（12分）设数列 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 的前n项和为 $S _ { \mathfrak { n } }$ ．已知 $\mathtt { a } _ { 1 } = \mathtt { a }$ ， $\sf a _ { n + 1 } { = } S _ { n } { + } 3 ^ { n }$ <sup>n</sup>， $\mathsf { n } { \in } \mathsf { N } ^ { * }$
（Ⅰ）设 $b _ { n } = S _ { n } - 3 ^ { n }$ ，求数列 $\{ { \sf b } _ { \sf n } \}$ 的通项公式；
（Ⅱ）若 $\mathsf { a } _ { \mathsf { n } + 1 } { \geq } \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } , \mathsf { n } { \in } \mathsf { N } ^ { * }$ ，求a的取值范围
见解析
先把常见基础得分点练稳，再回来处理综合题。
【考点】81：数列的概念及简单表示法；8H：数列递推式
【专题】11：计算题；16：压轴题
【分析】（Ⅰ）依题意得 $S _ { \mathfrak { n } + 1 } { = } 2 S _ { \mathfrak { n } } { + } 3 ^ { \mathfrak { n } }$ ，由此可知 $| \mathsf { S } _ { \mathsf { n } + 1 } - 3 ^ { \mathsf { n } + 1 } { = } 2 \ \left( \mathsf { S } _ { \mathsf { n } } - 3 ^ { \mathsf { n } } \right)$ ．所以 ${ \sf b } _ { \sf n }$
$$ = S _ { n } - 3 ^ { n } = ( a - 3 ) 2 ^ { n - 1 } , n \in N ^ { \ast } . $$
（Ⅱ）由题设条件知 $1 S _ { n } = 3 ^ { n } + ( a - 3 ) 2 ^ { n - 1 } , n \in N ^ { * }$ ，于是， $a _ { n } = S _ { n } - S _ { n - 1 } =$
$2 ^ { n - 2 } [ 1 2 \cdot ( \frac { 3 } { 2 } ) ^ { n - 2 } + a - 3 ]$ ，由此可以求得a的取值范围是 $\left[ \begin{array} { l l } { - 9 , } & { + \infty } \end{array} \right)$
【解答】解：（Ⅰ）依题意， $\mathsf { S } _ { \mathsf { n } + 1 } - \mathsf { S } _ { \mathsf { n } } \mathsf { = } \mathsf { a } _ { \mathsf { n } + 1 } \mathsf { = } \mathsf { S } _ { \mathsf { n } } \mathsf { + } \mathsf { 3 } ^ { \mathsf { n } }$ ，即 $S _ { n + 1 } { = } 2 S _ { n } { ^ { + } } 3 ^ { n }$
由此得 $S _ { n + 1 } - 3 ^ { n + 1 } = 2 S _ { n } + 3 ^ { n } - 3 ^ { n + 1 } = 2 ( S _ { n } - 3 ^ { n } )$ ．（4分）
因此，所求通项公式为 $b _ { n } = S _ { n } - 3 ^ { n } = ( a - 3 ) 2 ^ { n - 1 } , n \in \mathsf { N } ^ { * } . \widehat { ( 1 ) } ( 6 4 )$
（Ⅱ）由①知 $\vert S _ { n } = 3 ^ { n } + ( \textbf { a } - 3 ) 2 ^ { n - 1 }$ $\mathsf { n } { \in } \mathsf { N } ^ { * }$
于是，当n≥2时，
$$ a _ { n } = S _ { n } - S _ { n - 1 } = 3 ^ { n + } ( { \mathsf { a } } - 3 ) \times 2 ^ { n - 1 } - 3 ^ { n - 1 } - { \mathsf { \Omega } } ( { \mathsf { a } } - 3 ) \times 2 ^ { n - 2 } = 2 \times 3 ^ { n - 1 + } { \mathsf { \Omega } } ( { \mathsf { a } } - 3 ) 2 ^ { n - 2 } , $$
$$ a _ { n + 1 } - a _ { n } = 4 \times 3 ^ { n - 1 + } ( a - 3 ) 2 ^ { n - 2 } = 2 ^ { n - 2 } [ 1 2 \bullet ( \frac { 3 } { 2 } ) ^ { n - 2 } + a - 3 ] , $$
当n≥2时， $a _ { \mathrm { n + 1 } } \geqslant a _ { \mathrm { n } } \Leftrightarrow 1 2 \bullet ( \frac 3 2 ) ^ { \mathrm { r } \mathrm { r } 2 } + \mathtt { a } \mathrm { - } 3 \geqslant 0 \Leftrightarrow a \geq - 9 .$
又 $\mathsf { a } _ { 2 } { = } \mathsf { a } _ { 1 } { + } 3 > \mathsf { a } _ { 1 }$
综上，所求的a的取值范围是 $[ \mathbf { \nabla } - \mathfrak { g } , \mathbf { \nabla } + \infty )$ ．（12分）
【点评】本题考查数列的综合运用，解题时要仔细审题，注意挖掘题设中的隐含条件