已知直线 l: a x+b y-r^ 2 =0 与圆 C:…——2021 高考数学第 11 题答案解析

【答案】ABD

【解析】

【分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为 $a^{2}+b^{2}, r^{2}$ 的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解．

【详解】圆心 $C(0,0)$ 到直线 $l$ 的距离 $d=\frac{r^{2}}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$ ，
若点 $A(a, b)$ 在圆 $C$ 上，则 $a^{2}+b^{2}=r^{2}$ ，所以 $d=\frac{r^{2}}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}=|r|$ ，
则直线 $l$ 与圆 $C$ 相切，故A正确；
若点 $A(a, b)$ 在圆 $C$ 内，则 $a^{2}+b^{2}<r^{2}$ ，所以 $d=\frac{r^{2}}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}>|r|$ ，
则直线 $l$ 与圆 $C$ 相离，故 B 正确；
若点 $A(a, b)$ 在圆 $C$ 外，则 $a^{2}+b^{2}>r^{2}$ ，所以 $d=\frac{r^{2}}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}<|r|$ ，
则直线 $l$ 与圆 $C$ 相交，故C错误；
若点 $A(a, b)$ 在直线 $l$ 上，则 $a^{2}+b^{2}-r^{2}=0$ 即 $a^{2}+b^{2}=r^{2}$ ，
所以 $d=\frac{r^{2}}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}=|r|$ ，直线 $l$ 与圆 $C$ 相切，故D正确．
故选：ABD．