【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程
【专题】5S：坐标系和参数方程
【分析】（I）由曲线 ${ \sf C } _ { 2 } \colon ~ \mathsf { \Gamma } \mathsf { \rho } { = } 2 \mathsf { s i n } \Theta$ ，化为 $\scriptstyle \rho ^ { 2 } = 2 \rho \sin \theta$ ，把 $\scriptstyle { \left\{ \begin{array} { l l } { \scriptstyle { \mathfrak { p } } ^ { 2 } = \mathbf { x } ^ { 2 } + \mathbf { y } ^ { 2 } } \\ { \mathbf { y } = \boldsymbol { \mathfrak { p } } \sin \theta } \end{array} \right. }$ 代入可得直角坐标方程．同理由 $\mathsf C _ { 3 } \colon \mathsf \rho = 2 \sqrt { 3 } \mathsf { c o s } \Theta$ ．可得直角坐标方程，联立解出可得 $\mathsf { \Lambda } . \mathsf { C } _ { 2 }$ 与 ${ \mathsf { C } } _ { 3 }$ 交点的直角坐标
> ②由曲线 $\mathsf C _ { 1 }$ 的参数方程，消去参数t，化为普通方程： $\scriptstyle \mathsf { y } = \mathsf { x t a n c }$ ，其中 $0 { \leq } \alpha { \leq } \pi$ $\mathfrak { a } \ne \frac { \pi } { 2 } ; \mathfrak { a } = \frac { \pi } { 2 }$ 时，为 $\scriptstyle \mathtt { x } = 0 \ \mathrm { ~ ( ~ } \mathtt { y } \neq 0 \ )$ ．其极坐标方程为： $\scriptstyle \Theta = \alpha ~ ( \digamma _ { 0 } \in \mathbb { R } , ~ \mathsf { p } \neq 0 )$ 利用 $| \mathsf { A B } | = | 2 \mathsf { s i n } \bar { \mathsf { a } } - 2 \sqrt { 3 } \mathsf { c o s } \bar { \mathsf { a } }$ 即可得出
【解答】解：（I）由曲线 ${ \sf C } _ { 2 } \colon ~ \mathsf { \Omega } \mathsf { \rho } = 2 \mathsf { s i n } \mathsf { \theta }$ ，化为 $\scriptstyle \mathsf { p } ^ { 2 } = 2 \mathsf { p s i n } \theta$
$\therefore x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 2 y$
同理由 $\mathsf C _ { 3 } \colon \mathsf \Delta \rho { = } 2 \sqrt { 3 } \mathsf { c o s } \Theta$ ．可得直角坐标方程： $\mathbf { x } ^ { 2 } + \mathbf { y } ^ { 2 } = 2 { \sqrt { 3 } } \mathbf { x } ^ { } $
联立 $\left\{ \begin{array} { l l } { { \tt x } ^ { 2 } + { \tt y } ^ { 2 } - 2 { \tt y } = 0 } \\ { { \tt x } ^ { 2 } + { \tt y } ^ { 2 } - 2 \sqrt { 3 } { \tt x } = 0 } \end{array} \right.$
解得 $\left\{ \begin{array} { l } { \displaystyle \mathbf { x } = \boldsymbol { 0 } } \\ { \displaystyle \mathbf { y } = \boldsymbol { 0 } } \end{array} \right\} \mathbf { x } = \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } ,$
$\therefore C _ { 2 }$ 与 ${ \mathsf { C } } _ { 3 }$ 交点的直角坐标为（0，0）， $( \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } , ~ \frac { 3 } { 2 } )$
（2）曲线 $\mathsf C _ { 1 } : \ \left\{ \begin{array} { l l } { \tt x = t c o s a } \\ { \tt y = t s i n a } \end{array} \right.$ （t为参数， $\mathsf { t } \neq \mathsf { 0 } )$ ，化为普通方程：y=xtanα，其中 $0 \leq$ $\alpha { \leq } \pi$ $\alpha { \neq } \frac { \pi } { 2 } ; \alpha { = } \frac { \pi } { 2 }$ 时，为 $1 \times = 0 ( y \neq 0 )$ ．其极坐标方程为： $\scriptstyle \Theta = \alpha \ ( \mathsf { p } \in \mathsf { R } , \mathsf { \ p } \neq 0$ ），
∵A，B都在C<sub>1</sub>上，
∴A $( 2 \mathsf { s i n a } , \mathsf { a } ) , \mathsf { B } ( 2 \sqrt { 3 } \mathsf { c o s } \mathbb { a } , \bar { \mathsf { a } } )$
$$
\therefore \vert A \mathbf { B } \vert = \vert 2 \sin \alpha - 2 \sqrt { 3 } \cos \alpha \vert = 4 \vert \sin ( \alpha - \frac { \pi } { 3 } ) \vert ,
$$
当 $a = \frac { 5 \pi } { 6 }$ 时，|AB|取得最大值4
【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、曲线的交点、两点之间的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题