把函数y f x= ( )图像上所有点的横坐标缩短到原来的…——2021 高考数学第 7 题答案解析

【答案】B

【解析】

【分析】解法一：从函数y f x = ( ) 的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到

$y = f \Bigg [ 2 \Bigg ( x - \frac { \pi } { 3 } \Bigg ) \Bigg ]$ ，即得 $f { \Bigg [ } 2 { \Bigg ( } x - { \frac { \pi } { 3 } } { \Bigg ) } { \Bigg ] } = \sin { \Bigg ( } x - { \frac { \pi } { 4 } } { \Bigg ) }$ ，再利用换元思想求得 $y = f ( x )$ 的解析表达式；解法二：从函数 $y = \sin ( x - { \frac { \pi } { 4 } } )$ 出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到 $y = f ( x )$ 的解析表达式.

【详解】解法一：函数y f x= ( )图象上所有点的横坐标缩短到原来的 $\frac { 1 } { 2 }$ 倍，纵坐标不变，得到 $y = f ( 2 x )$ 的图象，再把所得曲线向右平移 $\frac { \pi } { 3 }$ 个单位长度，应当得到 $y = f \Bigg [ 2 \Bigg ( x - \frac { \pi } { 3 } \Bigg ) \Bigg ]$ 的图象，

根据已知得到了函数 $y = \sin ( x - { \frac { \pi } { 4 } } )$ 的图象，所以 $f { \Bigg [ } 2 { \Bigg ( } x - { \frac { \pi } { 3 } } { \Bigg ) } { \Bigg ] } = \sin { \Bigg ( } x - { \frac { \pi } { 4 } } { \Bigg ) }$

令 $t = 2 { \Bigg ( } x - { \frac { \pi } { 3 } } { \Bigg ) }$ ,则 $x = \frac { t } { 2 } + \frac { \pi } { 3 } , x - \frac { \pi } { 4 } = \frac { t } { 2 } + \frac { \pi } { 1 2 }$

所以 $f \left( t \right) = \sin \left( \frac { t } { 2 } + \frac { \pi } { 1 2 } \right)$ ,所以 $f \left( x \right) = \sin \left( { \frac { x } { 2 } } + { \frac { \pi } { 1 2 } } \right)$

解法二：由已知的函数 $y = \sin ( x - { \frac { \pi } { 4 } } )$ 逆向变换，

第一步：向左平移 $\frac { \pi } { 3 }$ 个单位长度，得到 $y = \sin ( x + { \frac { \pi } { 3 } } - { \frac { \pi } { 4 } } ) = \sin ( x + { \frac { \pi } { 1 2 } } )$ 的图象，

第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到 $y = \sin \left( { \frac { x } { 2 } } + { \frac { \pi } { 1 2 } } \right)$ 的图象，即为 $y = f ( x )$ 的图象，所以 $f \left( x \right) = \sin \left( { \frac { x } { 2 } } + { \frac { \pi } { 1 2 } } \right)$

故选：B.