（12分）（Ⅰ）设函数 f ( x ) = ln ( 1…——2011 高考数学第 22 题答案解析

【考点】6B：利用导数研究函数的单调性

【专题】14：证明题；16：压轴题

【分析】（Ⅰ）欲证明当 $| \mathsf { x } > 0 |$ 时， $\textbf { \textsf { f } } ( \textbf { \textsf { x } } ) \mathbf { \Lambda } > 0$ ，由于f（0）=0利用函数的单调性，只须证明f（x）在 $[ 0 , \ + \infty )$ 上是单调增函数即可．先对函数进行求导，根据导函数大于0时原函数单调递减即可得到答案

（Ⅱ）先计算概率 $\mathsf { P } = \frac { \mathsf { A } _ { 2 0 } ^ { 1 0 0 } } { 1 0 0 \mathrm { } ^ { 2 0 } }$ ，再证明 $\frac { \texttt { A } _ { 2 0 } ^ { 1 0 0 } } { 1 0 0 } { < } ( \frac { 9 } { 1 0 } ) ^ { 1 9 } { < } \frac { 1 0 0 } { 9 0 } ( \frac { 9 0 } { 1 0 0 } ) ^ { 2 0 }$ ，即证明9$9 { \times } 9 8 { \times } . . . { \times } 8 1 < ( 9 0 ) 1 9$ ，最后证明 $( \frac { 9 } { 1 0 } ) ^ { 1 9 } < e ^ { - 2 }$ ，即证 ${ ( \frac { 1 0 } { 9 } ) } ^ { 1 9 } > { 0 } ^ { 2 }$ ，即证19l$\mathsf { n } \frac { 1 0 } { 9 } { > } 2$ ，即证 $\mathsf { I n } \frac { 1 0 \mathrm { ~ 2 ~ } } { \mathsf { g } \mathrm { ~ 1 ~ } \mathsf { g } }$ ，而这个结论由（1）所得结论可得

【解答】（Ⅰ）证明： $\mathbf { \sigma } \mathbf { \cdot } \mathbf { f } ^ { \prime } \mathbf { \varepsilon } \left( \mathbf { x } \right) \mathbf { \varepsilon } = \frac { 1 } { 1 + \mathbf { x } } - \frac { 2 \left( \mathbf { x } + 2 \right) - 2 \mathbf { x } } { \left( \mathbf { x } + 2 \right) \mathbf { \varepsilon } ^ { 2 } } = \frac { \mathbf { x } ^ { 2 } } { \left( \mathbf { x } + 2 \right) \mathbf { \varepsilon } ^ { 2 } \left( \mathbf { x } + 1 \right) } ,$

∴当x＞﹣1，时 ${ { \bf { f } } ^ { \prime } { \bf { \Psi } } \left( { \bf { x } } \right) \geq } 0$

∴f（x）在 $\left( \begin{array} { l l } { - \ 1 , } & { + \infty } \end{array} \right)$ 上是单调增函数，

∴当x＞0时， ${ \textsf { f } } \left( { \boldsymbol { \mathsf { x } } } \right) > { \mathsf { f } } \left( 0 \right) = 0$

即当x＞0时， $\textbf { \textsf { f } } ( \textbf { \textsf { x } } ) \mathbf { \Lambda } > 0$

（Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，连续抽取20次，则抽得的20个号码互不相同的概率为 $| \mathsf { P } { = } \frac { \mathsf { A } _ { 1 0 0 } ^ { 2 0 } } { 1 0 0 }$ ，要证 $\mathsf { P } < ( \frac { \mathsf { \ s } } { 1 0 } ) ^ { 1 9 } < \frac { \mathsf { 1 } } { \mathsf { e } ^ { 2 } }$

先证： $\mathsf { P } \mathrm { = } \frac { \mathsf { A } _ { 1 0 0 } ^ { 2 0 } } { \mathsf { 1 0 0 } ^ { 2 0 } } \mathrm { < } ( \frac { \mathfrak { g } } { 1 0 } ) ^ { 1 \mathfrak { g } }$ ，即证 $\frac { 1 0 0 \times 9 9 \times \cdots \times 8 1 } { 1 0 0 } < \frac { 1 0 0 } { 9 0 } ( \frac { 9 0 } { 1 0 0 } ) ^ { 2 0 }$

即证 $9 9 \times 9 8 \times . . . \times 8 1 < ( 9 0 ) 1 9$

而99×81=（90+9）×（90﹣9）=90²﹣9²＜90²

$$ 9 8 \times 8 2 = { \mathrm { ~ ( ~ 9 0 + 8 ~ ) ~ } } \times { \mathrm { ~ ( ~ 9 0 - 8 ~ ) ~ } } = 9 0 ^ { 2 } - 8 ^ { 2 } { < } 9 0 ^ { 2 } . . . $$

$$ 9 1 \times 8 9 = ~ ( 9 0 + 1 ) ~ \times ~ ( 9 0 - 1 ) ~ = 9 0 ^ { 2 } - 1 ^ { 2 } < 9 0 ^ { 2 } $$

$$ \therefore 9 9 \times 9 8 \times \ldots \times 8 1 < ( 9 0 ) 1 9 $$

即 $p < ( \frac { 9 } { 1 0 } ) ^ { 1 9 }$

再证： ${ ( \frac { 9 } { 1 0 } ) } ^ { 1 9 } < mathtt { e } ^ { - 2 }$ ，即证 ${ ( \frac { 1 0 } { 9 } ) } ^ { 1 9 } > { \mathsf { e } } ^ { 2 }$ ，即证 $1 9 | \mathrm { n } \frac { 1 0 } { 9 } > 2$ ，即 $\mathrm { i } \mathbb { E } | { \mathsf { n } } { \frac { 1 0 } { 9 } } { > } { \frac { 2 } { 1 9 } }$ 由 $( \textbf { I } ) \textbf { f } \left( \mathbf { x } \right) = \mathsf { I n } \left( \pmb { 1 } \pmb { \times } \right) - \frac { \mathsf { 2 } \mathbf { x } } { \mathbf { x } + \mathsf { 2 } }$ ，当 $\mathsf { x } { \mathrm { > } } 0$ 0时， $\textsf { f } \left( \mathbf { \boldsymbol { x } } \right) > 0$

令 $x = \frac { 1 } { 9 }$ ，则 $\ln { ( 1 + \frac { 1 } { 9 } ) } - \frac { 2 \cdot \frac { 1 } { 9 } } { 2 + \frac { 1 } { 9 } } = \ln { ( 1 + \frac { 1 } { 9 } ) } - \frac { 2 } { 1 9 } > 0$ ，即 $\mathsf { I n } \frac { 1 0 } { 9 } { > } \frac { 2 } { 1 9 }$

综上有： $P < ( \frac { 9 } { 1 0 } ) ^ { 1 9 } < \frac { 1 } { e ^ { 2 } }$

【点评】本题主要考查函数单调性的应用、函数的单调性与导数的关系等，考查运算求解能力，函数、导数、不等式证明及等可能事件的概率等知识．通过运用导数知识解决函数、不等式问题，考查了考生综合运用数学知识解决问题的能力