（17）（本小题满分 12 分） 在 ABC 中， A C…——2010 高考数学第 19 题答案解析

【解答】
本小题主要考查正弦定理、两角和与差的正弦、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦等基础知识，考查基本运算能力。满分 12 分．
（I）证明：在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中，由正弦定理及已知得 $\frac{\sin \mathrm{B}}{\sin \mathrm{C}}=\frac{\cos \mathrm{B}}{\cos \mathrm{C}}$ ．于是 $\sin \mathrm{B} \cos \mathrm{C}- \cos B \sin C=0$ ，即 $\sin (B-C)=0$ ．因为 $-\pi

所以 $\mathrm{B}=\mathrm{C}$ ．
（II）解：由 $\mathrm{A}+\mathrm{B}+\mathrm{C}=\pi$ 和（I）得 $\mathrm{A}=\pi-2 \mathrm{~B}$ ，故 $\cos 2 \mathrm{~B}=-\cos (\pi-2 \mathrm{~B})=-\cos \mathrm{A}=\frac{1}{3}$ ．
又 $0<2 \mathrm{~B}<\pi$ ，于是 $\sin 2 \mathrm{~B}=\sqrt{1-\cos ^{2} 2 B}=\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ．

从而 $\sin 4 \mathrm{~B}=2 \sin 2 \mathrm{~B} \cos 2 \mathrm{~B}=\frac{4 \sqrt{2}}{9}, \cos 4 \mathrm{~B}=\cos ^{2} 2 B-\sin ^{2} 2 B=-\frac{7}{9}$ ．

所以 $\sin \left(4 B+\frac{\pi}{3}\right)=\sin 4 B \cos \frac{\pi}{3}+\cos 4 B \sin \frac{\pi}{3}=\frac{4 \sqrt{2}-7 \sqrt{3}}{18}$