2013_退役省自主命题 (2013·文)
16．正项数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{n}^{2}-(2 n-1) a_{n}-2 n=0$．
（1）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 通项公式 $a_{n}$．
（2）令 $b_{n}=\frac{1}{(n+1) a_{n}}$，求数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 前 $n$ 项的和 $T_{n}$．
(1) $a_{n}=2 n$; (2) $T_{n}=\frac{n}{2(n+1)}$
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【答案】①$a_{n}=2 n$②$T_{n}=\frac{n}{2(n+1)}$
【解析】①$\because a_{n}^{2}-(2 n-1) a_{n}-2 n=0, \therefore\left(a_{n}-2 n\right)\left(a_{n}+1\right)=0, \because a_{n}>0, \therefore a_{n}=2 n$．
> （2）将（1）代入得：
$b_{n}=\frac{1}{(n+1) \cdot 2 n}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right), \therefore T_{n}=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=\frac{n}{2(n+1)}$.
【考点定位】本题主要考宣数列的概念、通项公式、前 n 项和，考查逻辑思维能力。