2015_省自主命题（湖南）
17. （本小题满分12分）设 的内角 的对边分别为DABC A B C, , $a , b , c , a = b \tan A$ .
（I）证明： $\sin B = \cos A$ ；
(II) 若 $\sin C - \sin A \cos B = { \frac { 3 } { 4 } }$ ，且 为钝角，求 .B A B C, ,
（I）略；(II) $A = 3 0 ^ { \circ } , B = 1 2 0 ^ { \circ } , C = 3 0 ^ { \circ }$
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【答案】（I）略；(II) $A = 3 0 ^ { \circ } , B = 1 2 0 ^ { \circ } , C = 3 0 ^ { \circ }$
【解析】
试题分析：（I）由题根据正弦定理结合所给已知条件可得 ${ \frac { \sin A } { \cos A } } = { \frac { \sin A } { \sin B } }$ ，所以 $\sin B = \cos A$ ；(II)根据两角和公式化简所给条件可得 $\sin C - \sin A \cos B = \cos A \sin B = { \frac { 3 } { 4 } }$ ，可得 $\sin ^ { 2 } B = \frac { 3 } { 4 }$ ，结合所给角B的范围可得角B.进而可得角A.由三角形内角和可得角C
试题解析：（I）由 $a = b \tan A$ 及正弦定理，得 ${ \frac { \sin A } { \cos A } } = { \frac { a } { b } } = { \frac { \sin A } { \sin B } }$ $\sin B = \cos A$
(I) 因为 $\sin C - \sin . 4 \cos B = \sin [ 1 8 0 ^ { \circ } - ( . 4 + B ) ] - \sin . 4 \cos B$
$= \sin ( \mathcal { A } + \mathcal { B } ) - \sin \mathcal { A } \cos \mathcal { B } = \sin \mathcal { A } \cos \mathcal { B } + \cos \mathcal { A } \sin \mathcal { B } - \sin \mathcal { A } \cos \mathcal { B } = \cos \mathcal { A } \sin \mathcal { B }$ $\therefore \cos A \sin B = \frac { 3 } { 4 }$
有（I）知 $\sin B = \cos A$ ，因此 $\sin ^ { 2 } B = \frac { 3 } { 4 }$ ，又B为钝角，所以 $\sin B = { \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } }$
故 $B = 1 2 0 ^ { \circ }$ ，由 $\cos A = \sin B = { \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } }$ 知 $\mathscr { A } = 3 0 ^ { \circ }$ ，从而 $C = 1 8 0 ^ { \circ } - ( A + B ) = 3 0 ^ { \circ }$
综上所述， $\angle 1 = 3 0 ^ { \circ } , B = 1 2 0 ^ { \circ } , C = 3 0 ^ { \circ }$
【考点定位】正弦定理及其运用
【名师点睛】解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到