2022_全国乙卷
14. 如图，一竖直放置的汽缸由两个粗细不同的圆柱形筒组成，汽缸中活塞Ⅰ和活塞Ⅱ之间封闭有一定量的理想气体，两活塞用一轻质弹簧连接，汽缸连接处有小卡销，活塞Ⅱ不能通过连接处。活塞Ⅰ、Ⅱ的质量分别为2m 、m，面积分别为2S、S，弹簧原长为l。初始时系统处于平衡状态，此时弹簧的伸长量为0.1l ，活塞Ⅰ、Ⅱ到汽缸连接处的距离相等，两活塞间气体的温度为 $T _ { 0 }$ 。已知活塞外大气压强为 $p _ { \theta }$ ，忽略活塞与缸壁间的摩擦，汽缸无漏气，不计弹簧的体积。
（1）求弹簧的劲度系数；
（2）缓慢加热两活塞间 气体，求当活塞Ⅱ刚运动到汽缸连接处时，活塞间气体的压强和温度。的
(1) $k = \frac { 4 0 m g } { l } , ~$; (2) $~ p _ { 2 } = p _ { 0 } + \frac { 3 m g } { S } , ~ T _ { 2 } = \frac { 4 } { 3 } T _ { 0 }$
【答案】（1） $k = \frac { 4 0 m g } { l } , ~ ( 2 ) ~ p _ { 2 } = p _ { 0 } + \frac { 3 m g } { S } , ~ T _ { 2 } = \frac { 4 } { 3 } T _ { 0 }$
【解析】
【详解】①设封闭气体的压强为 $p _ { 1 }$ ，对两活塞和弹簧的整体受力分析，由平衡条件有
$$ m g + p _ { 0 } \cdot 2 S + 2 m g + p _ { 1 } S = p _ { 0 } S + p _ { 1 } \cdot 2 S $$
解得
$$ p _ { 1 } = p _ { 0 } + { \frac { 3 m g } { S } } $$
对活塞Ⅰ由平衡条件有
$$ 2 m g + p _ { \scriptscriptstyle 0 } \cdot 2 S + k \cdot 0 . 1 l = p _ { \scriptscriptstyle 1 } \cdot 2 S $$
解得弹簧的劲度系数为
$$ k = \frac { 4 0 m g } { l } $$
（2）缓慢加热两活塞间的气体使得活塞Ⅱ刚运动到汽缸连接处时，对两活塞和弹簧的整体由平衡条件可知，气体的压强不变依然为
$$ p _ { 2 } = p _ { 1 } = p _ { 0 } + { \frac { 3 m g } { S } } $$
即封闭气体发生等压过程，初末状态的体积分别为
$$ V _ { 1 } = \frac { 1 . 1 l } { 2 } { \times } 2 S + \frac { 1 . 1 l } { 2 } { \times } S = \frac { 3 . 3 l S } { 2 } , V _ { 2 } = l _ { 2 } \cdot 2 S $$
由气体的压强不变，则弹簧的弹力也不变，故有
$$ l _ { 2 } = 1 . 1 l $$
有等压方程可知
$$ { \frac { V _ { 1 } } { T _ { 0 } } } = { \frac { V _ { 2 } } { T _ { 2 } } } $$
解得
$$ T _ { _ 2 } = \frac { 4 } { 3 } T _ { _ 0 } $$