如图，四面体 A B C D 中， A D C D, A…——2022 高考数学第 18 题答案解析

【答案】（1）证明过程见解析
（2）$C F$ 与平面 $A B D$ 所成的角的正弦值为 $\frac{4 \sqrt{3}}{7}$

【解析】

【分析】（1）根据已知关系证明 $\triangle A B D \cong \triangle C B D$ ，得到 $A B=C B$ ，结合等腰三角形三线合一得到垂直关系，结合面面垂直的判定定理即可证明；
（2）根据勾股定理逆用得到 $B E \perp D E$ ，从而建立空间直角坐标系，结合线面角的运算法则进行计算即可。

【小问 1 详解】

因为 $A D=C D, E$ 为 $A C$ 的中点，所以 $A C \perp D E$ ；
在 $\triangle A B D$ 和 $\triangle C B D$ 中，因为 $A D=C D, \angle A D B=\angle C D B, D B=D B$ ，
所以 $\triangle A B D \cong \triangle C B D$ ，所以 $A B=C B$ ，又因为 $E$ 为 $A C$ 的中点，所以 $A C \perp B E$ ；
又因为 $D E, B E \subset$ 平面 $B E D, D E \cap B E=E$ ，所以 $A C \perp$ 平面 $B E D$ ，
因为 $A C \subset$ 平面 $A C D$ ，所以平面 $B E D \perp$ 平面 $A C D$ ．

【小问 2 详解】

连接 $E F$ ，由（1）知，$A C \perp$ 平面 $B E D$ ，因为 $E F \subset$ 平面 $B E D$ ，

所以 $A C \perp E F$ ，所以 $S_{\triangle A F C}=\frac{1}{2} A C \cdot E F$ ，
当 $E F \perp B D$ 时，$E F$ 最小，即 $\triangle A F C$ 的面积最小．
因为 $\triangle A B D \cong \triangle C B D$ ，所以 $C B=A B=2$ ，
又因为 $\angle A C B=60^{\circ}$ ，所以 $\triangle A B C$ 是等边三角形，
因为 $E$ 为 $A C$ 的中点，所以 $A E=E C=1, B E=\sqrt{3}$ ，
因为 $A D \perp C D$ ，所以 $D E=\frac{1}{2} A C=1$ ，
在 $\triangle D E B$ 中，$D E^{2}+B E^{2}=B D^{2}$ ，所以 $B E \perp D E$ ．
以 $E$ 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系 $E-x y z$ ，
则 $A(1,0,0), B(0, \sqrt{3}, 0), D(0,0,1)$ ，所以 $\overrightarrow{A D}=(-1,0,1), \overrightarrow{A B}=(-1, \sqrt{3}, 0)$ ，
设平面 $A B D$ 的一个法向量为 $\vec{n}=(x, y, z)$ ，
则 $\left\{\begin{array}{l}\vec{n} \cdot \overrightarrow{A D}=-x+z=0 \\ \vec{n} \cdot \overrightarrow{A B}=-x+\sqrt{3} y=0\end{array}\right.$ ，取 $y=\sqrt{3}$ ，则 $\vec{n}=(3, \sqrt{3}, 3)$ ，
又因为 $C(-1,0,0), F\left(0, \frac{\sqrt{3}}{4}, \frac{3}{4}\right)$ ，所以 $\overrightarrow{C F}=\left(1, \frac{\sqrt{3}}{4}, \frac{3}{4}\right)$ ，
所以 $\cos \vec{n}, \overrightarrow{C F}=\frac{\vec{n} \cdot \overrightarrow{C F}}{|\vec{n}||\overrightarrow{C F}|}=\frac{6}{\sqrt{21} \times \sqrt{\frac{7}{4}}}=\frac{4 \sqrt{3}}{7}$ ，
设 $C F$ 与平面 $A B D$ 所成的角为 $\theta\left(0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}\right)$ ，

所以 $\sin \theta=|\cos \vec{n}, \overrightarrow{C F}|=\frac{4 \sqrt{3}}{7}$ ，
所以 $C F$ 与平面 $A B D$ 所成的角的正弦值为 $\frac{4 \sqrt{3}}{7}$ ．