2012_退役省自主命题 (2012·理)
8．已知两条直线 $l_{1}: y=m$ 和 $l_{2}: y=\frac{8}{2 m+1}(m>0), l_{1}$ 与函数 $y=\left|\log _{2} x\right|$ 的图象从左至右相交于点 $A, B, l_{2}$ 与函数 $y=\left|\log _{2} x\right|$ 的图象从左至右相交于点 $C, D$ ，记线段 $A C$ 和 $B D$ 在 $x$ 轴上的投影长度分别为 $a, b$ ．当 $m$ 变化时，$\frac{b}{a}$ 的最小值为
B
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【答案】B
【解析】由题可知，$x_{A}=2^{-m}, x_{B}=2^{m}, x_{C}=2^{-\frac{8}{2 m+1}}, x_{D}=2^{\frac{8}{2 m+1}}$ ，所以 $a=\left|2^{-\frac{8}{2 m+1}}-2^{-m}\right|$ ， $b=\left|2^{\frac{8}{2 m+1}}-2^{m}\right|$ ，若 $m=\frac{8}{2 m+1}$ ，则 $a=b=0$ ，不合题意；若 $m>\frac{8}{2 m+1}$ ，则 $a=2^{-\frac{8}{2 m+1}}-2^{-m}, b=2^{m}-2^{\frac{8}{2 m+1}}$ ，即
$\frac{b}{a}=\frac{2^{m}-2^{\frac{8}{2 m+1}}}{2^{-\frac{8}{2 m+1}}-2^{-m}}=\frac{\left(2^{m}-2^{\frac{8}{2 m+1}}\right) \cdot 2^{\frac{8}{2 m+1}} \cdot 2^{m}}{\left(2^{-\frac{8}{2 m+1}}-2^{-m}\right) \cdot 2^{\frac{8}{2 m+1}} \cdot 2^{m}}=\frac{\left(2^{m}-2^{\frac{8}{2 m+1}}\right) \cdot 2^{\frac{8}{2 m+1}} \cdot 2^{m}}{2^{m}-2^{\frac{8}{2 m+1}}}=2^{\frac{8}{2 m+1}} \cdot 2^{m}=2^{\frac{8}{2 m+1}+m}$
因 $\frac{8}{2 m+1}+m=\frac{4}{m+\frac{1}{2}}+m+\frac{1}{2}-\frac{1}{2} \geq 2 \sqrt{4}-\frac{1}{2}=\frac{7}{2}$ ，即此时 $\frac{b}{a}$ 的最小值为 $2^{\frac{7}{2}}=\sqrt{2^{7}}=8 \sqrt{2}$ 。同理若 $m<\frac{8}{2 m+1}$ ，则 $a=2^{-m}-2^{-\frac{8}{2 m+1}}, b=2^{\frac{8}{2 m+1}}-2^{m}$ ，即
$\frac{b}{a}=\frac{2^{\frac{8}{2 m+1}}-2^{m}}{2^{-m}-2^{-\frac{8}{2 m+1}}}=2^{\frac{8}{2 m+1}} \cdot 2^{m}=2^{\frac{8}{2 m+1}+m}$,
因 $\frac{8}{2 m+1}+m=\frac{4}{m+\frac{1}{2}}+m+\frac{1}{2}-\frac{1}{2} \geq 2 \sqrt{4}-\frac{1}{2}=\frac{7}{2}$ ，即此时 $\frac{b}{a}$ 的最小值为
$2^{\frac{7}{2}}=\sqrt{2^{7}}=8 \sqrt{2}$ 。综上可知 $\frac{b}{a}$ 的最小值为 $8 \sqrt{2}$ 。
【考点定位】函数图像与性质，基本不等式。
二填空题：本大题共 8 小题，考生作答 7 小题，每小题 5 分，共 35 分，把答案填在答题卡中对应题号的横线上。