（4分）（2008•四川）设等差数列 a _ n 的前n项…——2008 高考数学第 16 题答案解析

【考点】等差数列的前n项和；等差数列

【专题】压轴题

【分析】利用等差数列的前n项和公式变形为不等式，再利用消元思想确定d或 ${ \bf a } _ { 1 }$ 的范围，$\mathbf { a } _ { 4 }$ 用d或 ${ \bf a } _ { 1 }$ 表示，再用不等式的性质求得其范围

【解答】解：∵等差数列 $\{ \mathbf { a } _ { \mathrm { n } } \}$ 的前n项和为 $\mathrm { S } _ { \mathrm { n } } ,$ ，且 $\mathrm { S } _ { 4 } { \geq } 1 0 , \mathrm { S } _ { 5 } { \leq } 1 5$

$$ \therefore \left\{ \begin{array} { l } { \displaystyle \mathsf { S } _ { 4 } = 4 \mathsf { a } _ { 1 } + \frac { 4 \times 3 } { 2 } \mathrm { d } \geqslant 1 0 } \\ { \displaystyle \mathsf { S } _ { 5 } = 5 \mathsf { a } _ { 1 } + \frac { 5 \times 4 } { 2 } \mathrm { d } \leqslant 1 5 } \end{array} \right. , $$

$$ { \tt H } \left\{ \begin{array} { l } { 2 \tt a _ { 1 } { + } 3 { \tt d } \gg 5 } \\ { \tt a _ { 1 } { + } 2 { \tt d } \leqslant 3 } \end{array} \right. $$

$$ \begin{array}{c} \therefore \{ \bar { \ b { \mathscr { a } } } _ { 4 } = \bar { \ b { \mathscr { a } } } _ { 1 } + 3 \mathrm { d } \geqslant \frac { 5 - 3 \mathrm { d } } { 2 } + 3 \mathrm { d } = \frac { 5 + 3 \mathrm { d } } { 2 } \\ { \bar { \ b { \mathscr { a } } } _ { 4 } = \bar { \ b { \mathscr { a } } } _ { 1 } + 3 \mathrm { d } = \mathrm { ~ ( ~ } \bar { \ b { \mathscr { a } } } _ { 1 } + 2 \mathrm { d } ) + \mathrm { d } \leqslant 3 + \mathrm { d } } \end{array} $$

$$ \therefore \frac { 5 + 3 d } { 2 } \leqslant a _ { 4 } \leqslant 3 + d , 5 + 3 d \leq 6 + 2 d , \mathrm { d } \leq 1 $$

$\therefore a _ { 4 } \leq 3 + \mathrm { d } \leq 3 + 1 = 4$ 故 ${ \bf { a } } _ { 4 }$ 的最大值为 4，

故答案为：4

【点评】此题重点考查等差数列的通项公式，前n项和公式，以及不等式的变形求范围；