（24）（本小题满分 10 分）选修 4－5：不等式选讲…——2010 高考数学第 24 题答案解析

【解答】
证明：

（证法一）
因为 $a, b, c$ 均为正数，由平均值不等式得

$$ \begin{aligned} & a^{2}+b^{2}+c^{2} \geqslant 3(a b c)^{\frac{2}{3}} \\ & \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \geqslant 3(a b c)^{-\frac{1}{3}} \end{aligned} $$

所以 $\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^{2} \geqslant 9(a b c)^{-\frac{2}{3}}$ 。

故 $a^{2}+b^{2}+c^{2}+\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^{2} \geqslant 3(a b c)^{\frac{2}{3}}+9(a b c)^{-\frac{2}{3}}$ ．
又 $3(a b c)^{\frac{2}{3}}+9(a b c)^{-\frac{2}{3}} \geqslant 2 \sqrt{27}=6 \sqrt{3}$ ，

所以原不等式成立．
⋯⋯8分
当且仅当 $a=b=c$ 时，（1）式和（2）式等号成立．当且仅当 $3(a b c)^{\frac{2}{3}}=9(a b c)^{-\frac{2}{3}}$ 时，（3）式等号成立．

即当且仅当 $a=b=c=3^{\frac{1}{4}}$ 时，原式等号成立．

（证法二）

因为 $a, b, c$ 均为正数，由基本不等式得

$$ \begin{aligned} & a^{2}+b^{2} \geqslant 2 a b, \\ & b^{2}+c^{2} \geqslant 2 b c, \\ & c^{2}+a^{2} \geqslant 2 a c . \end{aligned} $$

所以 $a^{2}+b^{2}+c^{2} \geqslant a b+b c+a c$

同理 $\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}} \geqslant \frac{1}{a b}+\frac{1}{b c}+\frac{1}{a c}$

故 $a^{2}+b^{2}+c^{2}+\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^{2}$
$\geqslant a b+b c+a c+3 \frac{1}{a b}+3 \frac{1}{b c}+3 \frac{1}{a c}$
$\geqslant 6 \sqrt{3}$.

所以原不等式成立。
⋯⋯ 8 分
当且仅当 $a=b=c$ 时，（1）式和（2）式等号成立，当且仅当 $a=b=c,(a b)^{2} =(b c)^{2}=(a c)^{2}=3$ 时，（3）式等号成立。

即当且仅当 $a=b=c=3^{\frac{1}{4}}$ 时，原式等号成立．
⋯⋯10分