有一组样本数据 x _ 1 , x _ 2 , , x _…——2023 高考数学第 9 题答案解析

【答案】BD

【解析】

【分析】根据题意结合平均数、中位数、标准差以及极差的概念逐项分析判断

$$ x _ {2}, x _ {3}, x _ {4}, x _ {5} $$

$$ x _ {1}, x _ {2}, \dots , x _ {6} $$

$$ n - m = \frac {x _ {1} + x _ {2} + x _ {3} + x _ {4} + x _ {5} + x _ {6}}{6} - \frac {x _ {2} + x _ {3} + x _ {4} + x _ {5}}{4} = \frac {2 \left(x _ {1} + x _ {6}\right) - \left(x _ {5} + x _ {2} + x _ {3} + x _ {4}\right)}{1 2} $$

$$ 2 \left(x _ {1} + x _ {6}\right), x _ {5} + x _ {2} + x _ {3} + x _ {4} $$

$$ m = 2, n = \frac {1 1}{6} $$

$$ x _ {1} \leq x _ {2} \leq x _ {3} \leq x _ {4} \leq x _ {5} \leq x _ {6} $$

可知 $x _ { 2 } , x _ { 3 } , x _ { 4 } , x _ { 5 }$ 的中位数等于 $x _ { 1 } , x _ { 2 } , \cdots , x _ { 6 }$ 的中位数均为 $\frac { x _ { 3 } + x _ { 4 } } { 2 }$ ，故B正确；

$$ x _ {1} $$

$$ x _ {6} $$

则 $x _ { 2 } , x _ { 3 } , x _ { 4 } , x _ { 5 }$ 的波动性不大于 $x _ { 1 } , x _ { 2 } , \cdots , x _ { 6 }$ 的波动性，即 $x _ { 2 } , x _ { 3 } , x _ { 4 } , x _ { 5 }$ 的标准差不大于 $x _ { 1 } , x _ { 2 } , \cdots , x _ { 6 }$ 的标准差，

例如： 2, 4,6,8,10,12 ，则平均数 $n = \frac { 1 } { 6 } { \left( 2 + 4 + 6 + 8 + 1 0 + 1 2 \right) } = 7$ 标准差 $s _ { 1 } = { \sqrt { { \frac { 1 } { 6 } } { \Big [ } { \bigl ( } 2 - 7 { \bigr ) } ^ { 2 } + { \bigl ( } 4 - 7 { \bigr ) } ^ { 2 } + { \bigl ( } 6 - 7 { \bigr ) } ^ { 2 } + { \bigl ( } 8 - 7 { \bigr ) } ^ { 2 } + { \bigl ( } 1 0 - 7 { \bigr ) } ^ { 2 } + { \bigl ( } 1 2 - 7 { \bigr ) } ^ { 2 } { \Bigr ] } } } = { \frac { \sqrt { 1 0 5 } } { 3 } }$ 4,6,8,10，则平均数 $m = \frac 1 4 { \left( 4 + 6 + 8 + 1 0 \right) } = 7$

标准差 $s _ { 2 } = { \sqrt { { \frac { 1 } { 4 } } { \Big [ } \left( 4 - 7 \right) ^ { 2 } + \left( 6 - 7 \right) ^ { 2 } + \left( 8 - 7 \right) ^ { 2 } + \left( 1 0 - 7 \right) ^ { 2 } { \Big ] } } } = { \sqrt { 5 } }$

显然 $\frac { \sqrt { 1 0 5 } } { 3 } > 5$ ，即 $s _ { 1 } > s _ { 2 }$ ；故 C 错误；

对于选项D：不妨设 $x _ { 1 } \leq x _ { 2 } \leq x _ { 3 } \leq x _ { 4 } \leq x _ { 5 } \leq x _ { 6 }$

则 $x _ { 6 } - x _ { 1 } \ge x _ { 5 } - x _ { 2 }$ ，当且仅当 $x _ { 1 } = x _ { 2 } , x _ { 5 } = x _ { 6 }$ 时，等号成立，故D 正确；

故选：BD.