22．（2009浙江理 22）已知函数 $f(x)=x^{3}-\left(k^{2}-k+1\right) x^{2}+5 x-2, g(x)=k^{2} x^{2}+k x+1$ ，其中 $k \in \boldsymbol{R}$ 。
①设函数 $p(x)=f(x)+g(x)$ ．若 $p(x)$ 在区间 $(0,3)$ 上不单调，求 $k$ 的取值范围；
（11）设函数 $\quad q(x)=\left\{\begin{array}{l}g(x), x \geq 0, \\ f(x), x<0 .\end{array}\right.$ 是否存在 $k$ ，对任意给定的非零实数 $x_{1}$ ，存在惟一
的非零实数 $x_{2}\left(x_{2} \neq x_{1}\right)$ ，使得 $q^{\prime}\left(x_{2}\right)=q^{\prime}\left(x_{1}\right)$ 成立？若存在，求 $k$ 的值；若不存在，请说明理由。
参考答案解析：（ I ）因 $P(x)=f(x)+g(x)=x^{3}+(k-1) x^{2}+(k+5)-1$ ， $p^{\prime}(x)=3 x^{2}+2(k-1) x+(k+5)$ ，因 $p(x)$ 在区间 $(0,3)$ 上不单调，所以 $p^{\prime}(x)=0$ 在 $(0,3)$ 上有实数解，且无重根，由 $p^{\prime}(x)=0$ 得 $k(2 x+1)=-\left(3 x^{2}-2 x+5\right)$ ， $\therefore k=-\frac{\left(3 x^{2}-2 x+5\right)}{2 x+1}=-\frac{3}{4}\left[(2 x+1)+\frac{9}{2 x+1}-\frac{10}{3}\right]$ ，令 $t=2 x+1$ ，有 $t \in(1,7)$ ，记 $h(t)=t+\frac{9}{t}$, 则 $h(t)_{\text {在 }}(1,3]$ 上单调递减，在 $[3,7)$ 上单调递增，所以有 $h(t) \in[6,10)$ ，于是 $(2 x+1)+\frac{9}{2 x+1} \in[6,10)$ ，得 $k \in(-5,-2]$ ，而当 $k=-2$ 时有 $p^{\prime}(x)=0$ 在 $(0,3)$ 上有两个相等的实根 $x=1$ ，故舍去，所以 $k \in(-5,-2)$ ； （II）当 $x<0$ 时有 $q^{\prime}(x)=f^{\prime}(x)=3 x^{2}-2\left(k^{2}-k+1\right) x+5$ ；当 $x>0$ 时有 $q^{\prime}(x)=g^{\prime}(x)=2 k^{2} x+k$ ，因为当 $k=0$ 时不合题意，因此 $k \neq 0$ ， 下面讨论 $k \neq 0$ 的情形，记 $\mathrm{A}=(k,+\infty), \mathrm{B}=(5,+\infty)$（i）当 $x_{1}>0$ 时，$q^{\prime}(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增，所以要使 $q^{\prime}\left(x_{2}\right)=q^{\prime}\left(x_{1}\right)$ 成立，只能 $x_{2}<0$ 且 $A \subseteq B$ ，因此有 $k \geq 5$ ，（ii）当 $x_{1}<0$ 时， $q^{\prime}(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递减，所以要使 $q^{\prime}\left(x_{2}\right)=q^{\prime}\left(x_{1}\right)$ 成立，只能 $x_{2}>0$ 且 $A \subseteq B$ ，因此 $k \leq 5$ ，综合（i ）（ii）$k=5$ ； 当 $k=5$ 时 $\mathrm{A}=\mathrm{B}$ ，则 $\forall x_{1}<0, q^{\prime}\left(x_{1}\right) \in B=A$ ，即 $\exists x_{2}>0$ ，使得 $q^{\prime}\left(x_{2}\right)=q^{\prime}\left(x_{1}\right)$ 成立，因为 $q^{\prime}(x)$在 $(0,+\infty)$ 上单调递增，所以 $x_{2}$ 的值是唯一的； 同理，$\forall x_{1}<0$ ，即存在唯一的非零实数 $x_{2}\left(x_{2} \neq x_{1}\right)$ ，要使 $q^{\prime}\left(x_{2}\right)=q^{\prime}\left(x_{1}\right)$ 成立，所以 $k=5$ 满足题意