1．（2009 浙江理 1）设 $U=\boldsymbol{R}, A=\{x \mid x>0\}, ~ B=\{x \mid x>1\}$ ，则 $A \cap C_{U} B=$（ ）
参考答案B
2009 浙江卷 · 理 数学 · 真题与答案解析
本页汇总 高考数学真题检索 的「2009 浙江卷 · 理 数学」全部真题共 22 道（也称 浙江高考卷、浙江高考、浙江），适用地区 浙江，最常出题型为 单选题；题型分布 单选 10+解答 7+填空 5。所有题目按题号顺序排列，附完整参考答案；点击「查看完整解析」可在主搜索查看逐题分步解析与同卷型历年真题。
22道
真题数量
2009
考试年份
区分题为主
整体难度
单选题
最常出题型
真题列表（按题号顺序）
2．（2009 浙江理 2）已知 $a, b$ 是实数，则＂$a>0$ 且 $b>0$＂是＂$a+b>0$ 且 $a b>0$＂的（ ）
参考答案C 【解题关键点】对于＂$a>0$ 且 $b>0$＂可以推出＂$a+b>0$ 且 $a b>0$＂，反之也是成立的
3．（2009 浙江理 3）设 $z=1+i$（ $i$ 是虚数单位），则 $\frac{2}{z}+z^{2}=$（）
参考答案D 【解题关键点】 $\frac{2}{z}+z^{2}=\frac{2}{1+i}+(1+i)^{2}=1-i+2 i=1+i$
4．（2009 浙江理 4）在二项式 $\left(x^{2}-\frac{1}{x}\right)^{5}$ 的展开式中，含 $x^{4}$ 的项的系数是（）。
参考答案B 【解题关键点】对于 $T_{r+1}=C_{5}^{r}\left(x^{2}\right)^{5-r}\left(-\frac{1}{x}\right)^{r}=(-1)^{r} C_{5}^{r} x^{10-3 r}$ ，对于 $10-3 r=4, \therefore r=2$ ，则 $x^{4}$ 的项的系数是 $C_{5}^{2}(-1)^{2}=10$
5．（2009 浙江理 5）在三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点 $D$ 是侧面 $B B_{1} C_{1} C$的中心，则 $A D$ 与平面 $B B_{1} C_{1} C$ 所成角的大小是（ ）
参考答案C 【解题关键点】取 BC 的中点 E ，则 $A E \perp$ 面 $B B_{1} C_{1} C, \therefore A E \perp D E$ ，因此 $A D$ 与平面 $B B_{1} C_{1} C$ 所成 角 即 为 $\angle A D E$ ，设 $A B=a$ ，则 $A E=\frac{\sqrt{3}}{2} a, D E=\frac{a}{2}$ ，即 有
6．（2009 浙江理 6）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的 $k$ 的值是（ ）
参考答案A 【 解 题 关 键 点】 对于 $k=0, s=1, \therefore k=1$ ，而 对于 $k=1, s=3, \therefore k=2$ ，则 $k=2, s=3+8, \therefore k=3$ ，后面是 $k=3, s=3+8+2^{11}, \therefore k=4$ ，不符合条件时输出的 $k=4$ ．
7．（2009 浙江理 7）设向量 $\boldsymbol{a}, ~ \boldsymbol{b}$ 满足：$|\boldsymbol{a}|=3,|\boldsymbol{b}|=4, ~ \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=0$ 。以 $\boldsymbol{a}, ~ \boldsymbol{b}, ~ \boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}$ 的模为边长构成三角形，则它的边与半径为 1 的圆的公共点个数最多为（ ）．
参考答案B 【解题关键点】对于半径为 1 的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆，此时只有三个交点，对于圆的位置稍一右移或其他的变化，能实现 4 个交点的情况，但 5 个及 5 个以上的交点不能实现
8．（2009 浙江理 8）已知 $a$ 是实数，则函数 $f(x)=1+a \sin a x$ 的图象不可能是（ ）
参考答案D 【解题关键点】对于振幅大于 1 时，三角函数的周期为 $\frac{2 \pi}{|a|}, \because|a|>1, \therefore T<2 \pi$ ，而 D 不符合要求，它的振幅大于 1 ，但周期反而大于了 $2 \pi$ ．
9．（2009 浙江理 9）过双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的右顶点 $A$ 作斜率为 -1 的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为 $B, C$ 。若 $\overrightarrow{A B}=\frac{1}{2} \overrightarrow{B C}$ ，则双曲线的离心率是（）
参考答案C 【解题关键点】对于 $A(a, 0)$ ，则直线方程为 $x+y-a=0$ ，直线与两渐近线的交点为 $\mathrm{B}, \mathrm{C}$ ， $B\left(\frac{a^{2}}{a+b}, \frac{a b}{a+b}\right), C\left(\frac{a^{2}}{a-b},-\frac{a b}{a-b}\right)$, 则有…
10．（2009 浙江理 10）对于正实数 $\alpha$ ，记 $M_{\alpha}$ 为满足下述条件的函数 $f(x)$ 构成的集合：$\forall x_{1}, x_{2} \in \boldsymbol{R}$
且 $x_{2}>x_{1}$ ，有 $-\alpha\left(x_{2}-x_{1}\right)<f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)<\alpha\left(x_{2}-x_{1}\right)$ 。下列结论中正确的是（ ）
参考答案C 【解题关键点】对于 $-\alpha\left(x_{2}-x_{1}\right)<f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)<\alpha\left(x_{2}-x_{1}\right)$ ，即有 $-\alpha<\frac{f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)}{x_{2}-x_{1}}<\alpha$ ，令
11．（2009 浙江理 11）设等比数列 $\left\{a_{n}\right\}_{\text {的公比 }} q=\frac{1}{2}$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $\frac{S_{4}}{a_{4}}=$
参考答案15 【解题关键点】对于 $s_{4}=\frac{a_{1}\left(1-q^{4}\right)}{1-q}, a_{4}=a_{1} q^{3}, \therefore \frac{s_{4}}{a_{4}}=\frac{1-q^{4}}{q^{3}(1-q)}=15$
12．（2009 浙江理 12）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是 $c m^{3}$ ．
正视图
侧视图
参考答案18 【解题关键点】该几何体是由二个长方体组成，下面体积为 $1 \times 3 \times 3=9$ ，上面的长方体体积为 $3 \times 3 \times 1=9$ ，因此其几何体的体积为 18
13．（2009 浙江理 13）若实数 $x, y$ 满足不等式组 $\begin{gathered}x+y \geq 2, \\ 2 x-y \leq 4, \\ x-y \geq 0,\end{gathered}$ 则 $2 x+3 y$ 的最小值是 $\_\_\_\_$
参考答案4 【解题关键点】通过画出其线性规划，可知直线 $y=-\frac{2}{3} x+Z$ 过点 $(2,0)_{\text {时，}}(2 x+3 y)_{\min }=4$
14．（2009 浙江理 14）某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价．该地区的电网销售电价表如下：
| 高峰时间段用电价格表 | | 低谷时间段用电价格表 | |
| :--- | :--- | :--- | :--- |
| 高峰月用电量 （单位：千瓦时） | 高峰电价 （单位：元／千瓦时） | 低谷月用电量 （单位：千瓦时） | 低谷电价 （单位：元／千瓦时） |
| 50 及以下的部分 | 0.568 | 50 及以下的部分 | 0.288 |
| 超过50至200的部分 | 0.598 | 超过 50 至 200 的部分 | 0.318 |
| 超过 200 的部分 | 0.668 | 超过 200 的部分 | 0.388 |
若某家庭 5 月份的高峰时间段用电量为 200 千瓦时，低谷时间段用电量为 100 千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为 $\_\_\_\_$元（用数字作答）。
参考答案148.4 【解题关键点】对于应付的电费应分二部分构成，高峰部分为 $50 \times 0.568+150 \times 0.598$ ；对于低峰部分为 $50 \times 0.288+50 \times 0.318$ ，二部分之和为 148.4
15．（2009 浙江理 15）观察下列等式：
$
\begin{aligned}
& \quad C_{5}^{1}+C_{5}^{5}=2^{3}-2 \\
& C_{9}^{1}+C_{9}^{5}+C_{9}^{9}=2^{7}+2^{3} \\
& C_{13}^{1}+C_{13}^{5}+C_{13}^{9}+C_{13}^{13}=2^{11}-2^{5} \\
& \quad C_{17}^{1}+C_{17}^{5}+C_{17}^{9}+C_{17}^{13}+C_{17}^{17}=2^{15}+2^{7}
\end{aligned}
$
由以上等式推测到一个一般的结论：
对于 $n \in N^{*}, C_{4 n+1}^{1}+C_{4 n+1}^{5}+C_{4 n+1}^{9}+\cdots+C_{4 n+1}^{4 n+1}=$ $\_\_\_\_$ ．
参考答案$2^{4 n-1}+(-1)^{n} 2^{2 n-1}$ 【解题关键点】这是一种需类比推理方法破解的问题，结论由二项构成，第二项前有 $(-1)^{n}$ ，二项指数分别为 $2^{4 n-1}, 2^{2 n-1}$ ，因此对于…
16．（2009 浙江理 16）甲、乙、丙 ${ }^{3}$ 人站到共有 7 级的台阶上，若每级台阶最多站 2 人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是 $\_\_\_\_$ （用数字作答）。
参考答案336 【解题关键点】对于 7 个台阶上每一个只站一人，则有 $A_{7}^{3}$ 种；若有一个台阶有 2 人，另一个是 1 人，则共有 $C_{3}^{1} A_{7}^{2}$ 种，因此共有不同的站法种数是 336 种．
17．（2009浙江理 17）如图，在长方形 $A B C D$ 中，$A B=2, B C=1, E$ 为 $D C$ 的中点，$F$ 为线段 $E C$（端点除外）上一动点．现将 $\triangle A F D$ 沿 $A F$ 折起，使平面 $A B D \perp$ 平面 $A B C$ 。在平面 $A B D$内过点 $D$ 作 $D K \perp A B, K$ 为垂足．设 $A K=t$ ，则 $t$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$ ．
（第17题）
参考答案$\left(\frac{1}{2}, 1\right)$ 【解题关键点】此题的破解可采用二个极端位置法，即对于 F 位于 DC 的中点时，$t=1$ ，随着 F 点到 C 点时，因 $C B \perp A B, C B \perp D K, \therefore C B \perp$ 平 面 $A D B$ ，即 有 $C B \perp B D$ ，对 于…
18．（2009 浙江理 18）在 $\triangle A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且满足 $\cos \frac{A}{2}=\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ，
$\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}=3$ ．（I）求 $\triangle A B C$ 的面积；（II）若 $b+c=6$ ，求 $a$ 的值。
参考答案解析：（1）因为 $\cos \frac{A}{2}=\frac{2 \sqrt{5}}{5}, \therefore \cos A=2 \cos ^{2} \frac{A}{2}-1=\frac{3}{5}, \sin A=\frac{4}{5}$ ，又由 $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}=3$ ，得…
19．（2009 浙江理 19）在 $1,2,3, \cdots, 9$ 这 9 个自然数中，任取 3 个数．
（1）求这 ${ }^{3}$ 个数中恰有 1 个是偶数的概率；
（II）设 $\xi$ 为这 3 个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为 $1,2,3$ ，则有两组相邻的数 1,2 和 2,3 ，此时 $\xi$ 的值是 2 ）。求随机变量 $\xi$ 的分布列及其数学期望 $E \xi$ 。
参考答案（1）记＂这 3 个数恰有一个是偶数＂为事件 A ，则 $P(A)=\frac{C_{4}^{1} C_{5}^{2}}{C_{9}^{3}}=\frac{10}{21}$ ； （II）随机变量 $\xi$ 的取值为 $0,1,2, \xi$ 的分布列为 | $\xi$ | 0 | 1 | 2 | | :--- | :--- | :--- | :--- | | P | $\frac{5}{12}$
20．（2009 浙江理 20）如图，平面 $P A C \perp$ 平面 $A B C, ~ \triangle A B C$ 是以 $A C$ 为斜边的等腰直角三角形，
$E, F, O$ 分别为 $P A, P B, A C$ 的中点，$A C=16, P A=P C=10$ ．
①设 $G$ 是 $O C$ 的中点，证明：$F G / /$ 平面 $B O E$ ；
（II）证明：在 $\triangle A B O$ 内存在一点 $M$ ，使 $F M \perp$ 平面 $B O E$ ，并求点 $M$ 到 $O A, O B$ 的距离．
参考答案证明：①如图，连结 OP ，以 O 为坐标原点，分别以 $\mathrm{OB} 、 \mathrm{OC} 、 \mathrm{OP}$ 所在直线为 $x$ 轴，$y$轴，$z$ 轴 ，建 立 空 间 直 角 坐 标 系 $\mathrm{O}^{-x y z}$ ，则…
21．（2009 浙江理 21）已知椭圆 $C_{1}: \frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的右顶点为 $A(1,0)$ ，过 $C_{1}$ 的焦点且垂直长轴的弦长为 1 。
（1）求椭圆 $C_{1}$ 的方程；
（II）设点 $P$ 在抛物线 $C_{2}: y=x^{2}+h(h \in \boldsymbol{R})$ 上，$C_{2 \text { 在点 } P \text { 处的切线与 } C_{1} \text { 交于点 }} M, N$ 当线段 $A P$ 的中点与 $M N$ 的中点的横坐标相等时，求 $h$ 的最小值。
参考答案解析：（1）由题意得 $\left\{\begin{array}{l}b=1 \\ 2 \cdot \frac{b^{2}}{a}=1, \therefore\left\{\begin{array}{l}a=2 \\ b=1\end{array},\right.\end{array}\right.$ 所求的椭圆方程为 $\frac{y^{2}}{4}+x^{2}=1$ ， （II）不妨设…
22．（2009浙江理 22）已知函数 $f(x)=x^{3}-\left(k^{2}-k+1\right) x^{2}+5 x-2, g(x)=k^{2} x^{2}+k x+1$ ，其中 $k \in \boldsymbol{R}$ 。
①设函数 $p(x)=f(x)+g(x)$ ．若 $p(x)$ 在区间 $(0,3)$ 上不单调，求 $k$ 的取值范围；
（11）设函数 $\quad q(x)=\left\{\begin{array}{l}g(x), x \geq 0, \\ f(x), x<0 .\end{array}\right.$ 是否存在 $k$ ，对任意给定的非零实数 $x_{1}$ ，存在惟一
的非零实数 $x_{2}\left(x_{2} \neq x_{1}\right)$ ，使得 $q^{\prime}\left(x_{2}\right)=q^{\prime}\left(x_{1}\right)$ 成立？若存在，求 $k$ 的值；若不存在，请说明理由。
参考答案解析：（ I ）因 $P(x)=f(x)+g(x)=x^{3}+(k-1) x^{2}+(k+5)-1$ ， $p^{\prime}(x)=3 x^{2}+2(k-1) x+(k+5)$ ，因 $p(x)$ 在区间 $(0,3)$ 上不单调，所以 $p^{\prime}(x)=0$ 在 $(0,3)$ 上有实数解，且无重根，由 $p^{\prime}(x)=0$ 得…
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