2009 浙江卷 · 理 数学　·　真题与答案解析

1．（2009 浙江理 1）设 $U=\boldsymbol{R}, A=\{x \mid x>0\}, ~ B=\{x \mid x>1\}$ ，则 $A \cap C_{U} B=$（ ）

2．（2009 浙江理 2）已知 $a, b$ 是实数，则＂$a>0$ 且 $b>0$＂是＂$a+b>0$ 且 $a b>0$＂的（ ）

3．（2009 浙江理 3）设 $z=1+i$（ $i$ 是虚数单位），则 $\frac{2}{z}+z^{2}=$（）

4．（2009 浙江理 4）在二项式 $\left(x^{2}-\frac{1}{x}\right)^{5}$ 的展开式中，含 $x^{4}$ 的项的系数是（）。

5．（2009 浙江理 5）在三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点 $D$ 是侧面 $B B_{1} C_{1} C$的中心，则 $A D$ 与平面 $B B_{1} C_{1} C$ 所成角的大小是（ ）

6．（2009 浙江理 6）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的 $k$ 的值是（ ）

7．（2009 浙江理 7）设向量 $\boldsymbol{a}, ~ \boldsymbol{b}$ 满足：$|\boldsymbol{a}|=3,|\boldsymbol{b}|=4, ~ \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=0$ 。以 $\boldsymbol{a}, ~ \boldsymbol{b}, ~ \boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}$ 的模为边长构成三角形，则它的边与半径为 1 的圆的公共点个数最多为（ ）．

8．（2009 浙江理 8）已知 $a$ 是实数，则函数 $f(x)=1+a \sin a x$ 的图象不可能是（ ）

9．（2009 浙江理 9）过双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的右顶点 $A$ 作斜率为 -1 的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为 $B, C$ 。若 $\overrightarrow{A B}=\frac{1}{2} \overrightarrow{B C}$ ，则双曲线的离心率是（）

10．（2009 浙江理 10）对于正实数 $\alpha$ ，记 $M_{\alpha}$ 为满足下述条件的函数 $f(x)$ 构成的集合：$\forall x_{1}, x_{2} \in \boldsymbol{R}$
且 $x_{2}>x_{1}$ ，有 $-\alpha\left(x_{2}-x_{1}\right)

11．（2009 浙江理 11）设等比数列 $\left\{a_{n}\right\}_{\text {的公比 }} q=\frac{1}{2}$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $\frac{S_{4}}{a_{4}}=$

12．（2009 浙江理 12）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是 $c m^{3}$ ．

正视图

侧视图

13．（2009 浙江理 13）若实数 $x, y$ 满足不等式组 $\begin{gathered}x+y \geq 2, \\ 2 x-y \leq 4, \\ x-y \geq 0,\end{gathered}$ 则 $2 x+3 y$ 的最小值是 $\_\_\_\_$

15．（2009 浙江理 15）观察下列等式：

$ \begin{aligned} & \quad C_{5}^{1}+C_{5}^{5}=2^{3}-2 \\ & C_{9}^{1}+C_{9}^{5}+C_{9}^{9}=2^{7}+2^{3} \\ & C_{13}^{1}+C_{13}^{5}+C_{13}^{9}+C_{13}^{13}=2^{11}-2^{5} \\ & \quad C_{17}^{1}+C_{17}^{5}+C_{17}^{9}+C_{17}^{13}+C_{17}^{17}=2^{15}+2^{7} \end{aligned} $

由以上等式推测到一个一般的结论：
对于 $n \in N^{*}, C_{4 n+1}^{1}+C_{4 n+1}^{5}+C_{4 n+1}^{9}+\cdots+C_{4 n+1}^{4 n+1}=$ $\_\_\_\_$ ．

17．（2009浙江理 17）如图，在长方形 $A B C D$ 中，$A B=2, B C=1, E$ 为 $D C$ 的中点，$F$ 为线段 $E C$（端点除外）上一动点．现将 $\triangle A F D$ 沿 $A F$ 折起，使平面 $A B D \perp$ 平面 $A B C$ 。在平面 $A B D$内过点 $D$ 作 $D K \perp A B, K$ 为垂足．设 $A K=t$ ，则 $t$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$ ．

（第17题）

18．（2009 浙江理 18）在 $\triangle A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且满足 $\cos \frac{A}{2}=\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ，

$\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}=3$ ．（I）求 $\triangle A B C$ 的面积；（II）若 $b+c=6$ ，求 $a$ 的值。

19．（2009 浙江理 19）在 $1,2,3, \cdots, 9$ 这 9 个自然数中，任取 3 个数．
（1）求这 ${ }^{3}$ 个数中恰有 1 个是偶数的概率；
（II）设 $\xi$ 为这 3 个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为 $1,2,3$ ，则有两组相邻的数 1,2 和 2,3 ，此时 $\xi$ 的值是 2 ）。求随机变量 $\xi$ 的分布列及其数学期望 $E \xi$ 。

20．（2009 浙江理 20）如图，平面 $P A C \perp$ 平面 $A B C, ~ \triangle A B C$ 是以 $A C$ 为斜边的等腰直角三角形，

$E, F, O$ 分别为 $P A, P B, A C$ 的中点，$A C=16, P A=P C=10$ ．
①设 $G$ 是 $O C$ 的中点，证明：$F G / /$ 平面 $B O E$ ；
（II）证明：在 $\triangle A B O$ 内存在一点 $M$ ，使 $F M \perp$ 平面 $B O E$ ，并求点 $M$ 到 $O A, O B$ 的距离．

21．（2009 浙江理 21）已知椭圆 $C_{1}: \frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的右顶点为 $A(1,0)$ ，过 $C_{1}$ 的焦点且垂直长轴的弦长为 1 。
（1）求椭圆 $C_{1}$ 的方程；
（II）设点 $P$ 在抛物线 $C_{2}: y=x^{2}+h(h \in \boldsymbol{R})$ 上，$C_{2 \text { 在点 } P \text { 处的切线与 } C_{1} \text { 交于点 }} M, N$ 当线段 $A P$ 的中点与 $M N$ 的中点的横坐标相等时，求 $h$ 的最小值。

22．（2009浙江理 22）已知函数 $f(x)=x^{3}-\left(k^{2}-k+1\right) x^{2}+5 x-2, g(x)=k^{2} x^{2}+k x+1$ ，其中 $k \in \boldsymbol{R}$ 。
①设函数 $p(x)=f(x)+g(x)$ ．若 $p(x)$ 在区间 $(0,3)$ 上不单调，求 $k$ 的取值范围；
（11）设函数 $\quad q(x)=\left\{\begin{array}{l}g(x), x \geq 0, \\ f(x), x<0 .\end{array}\right.$ 是否存在 $k$ ，对任意给定的非零实数 $x_{1}$ ，存在惟一
的非零实数 $x_{2}\left(x_{2} \neq x_{1}\right)$ ，使得 $q^{\prime}\left(x_{2}\right)=q^{\prime}\left(x_{1}\right)$ 成立？若存在，求 $k$ 的值；若不存在，请说明理由。