（本小题满分14分） 在 A B C 中，角A B C,…——2011 高考数学第 15 题答案解析

【解答】
本小题主要考查三角函数的基本关系式、两角和的正弦公式、解三角形，考查运算求解能力.满分14分.

解：(1)由题设知 $\sin { A } \cos { \frac { \pi } { 6 } } + \cos { A } \sin { \frac { \pi } { 6 } } = 2 \cos { A } .$ 从而 $\sin { \ A } = { \sqrt { 3 } } \cos { \ A }$ $\cos A \neq 0$ $\tan A = { \sqrt { 3 } }$ 因为 $0 < A < \pi$ $A = \frac { \pi } { 3 }$

$\cos A = \frac { 1 } { 3 } , b = 3 c$ 及 $a ^ { 2 } = b ^ { 2 } + c ^ { 2 } - 2 b c \cos A$ $a ^ { 2 } = b ^ { 2 } - c ^ { 2 }$ 故 $\triangle A B C$ 是直角三角形，且 $B = \frac { \pi } { 2 }$ $\sin C = \cos A = \frac { 1 } { 3 }$