2012_上海卷 (2012·文)
12．在矩形 $A B C D$ 中，边 $A B , A D$ 的长分别为 $2 , 1$ ，若 $M , N$ 分别是边 $B C$ 、 $C D$ 上的点，且满足 $\frac{|\overrightarrow{B M}|}{|\overrightarrow{B C}|}=\frac{|\overrightarrow{C N}|}{|\overrightarrow{C D}|}$ ，则 $\overrightarrow{A M} \cdot \overrightarrow{A N}$ 的取值范围是
$[1,4]$
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【答案】 $[1,4]$
【解析】以向量 AB 所在直线为 $x$ 轴，以向量 AD 所在直线为 $y$ 轴建立平面直角坐标系 ，如图所示，因为 $A B=2, A D=1$ ，所以 $A(0,0), B(2,0), C(2,1) D(0,1)$ ．设 $M(2, b), N(x, 1),(0 \leq x \leq 2)$ ，根据题意，$b=\frac{2-x}{2}$ ，所以 $\overrightarrow{A N}=(x, 1), \overrightarrow{A M}=\left(2, \frac{2-x}{2}\right)$.
所以 $\overrightarrow{A M} \bullet \overrightarrow{A N}=\frac{3}{2} x+1(0 \leq x \leq 2)$ ，所以 $1 \leq \frac{3}{2} x+1 \leq 4$ ， $1 \leq \overrightarrow{A M} \bullet A N \leq 4$.
【点评】本题主要考查平面向量的基本运算、概念、平面向量的数量积的运算律．做题时，要切实注意条件的运用．本题属于中档题，难度适中．