## 21．（本小题满分13分） 已知平面内一动点 P 到…——2011 高考数学第 21 题答案解析

【解答】
(2011•湖南)已知平面内一动点P到点F(1，0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1

(Ⅰ)求动点P的轨迹C的方程；

(Ⅱ)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l₁， $l _ { 2 }$ ，设l₁与轨迹C相交于点A，B，l₂与轨迹C 相交于点D，E，求 $\overrightarrow { A D } , \overrightarrow { E B }$ 的最小值

考点：直线与圆锥曲线的综合问题；向量在几何中的应用；抛物线的定义。

专题：计算题；综合题；压轴题；分类讨论；函数思想；方程思想。

分析：(Ⅰ)设动点P的坐标为(x，y)，根据两点间距离公式和点到直线的距离公式，列方程，并化解即可求得动点P的轨迹C的方程；

(Ⅱ)设出直线l₁的方程，理想直线和抛物线的方程，消去y，得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理，求出两根之和和两根之积，同理可求出直线 $l _ { 2 }$ 的方程与抛物线的交点坐标，

代入 $\overrightarrow { A D } \cdot \overrightarrow { E B }$ 利用基本不等式求最值，即可求得其的最小值

解答：解：(Ⅰ)设动点P的坐标为 $( x , \ y )$ ，由题意得 $\sqrt { \left( x - 1 \right) ^ { 2 } + y ^ { 2 } } - \vert x \vert = 1$

化简得y²=2x+2|x|

当x≥0时， $y ^ { 2 } { = } 4 x ;$ 当x＜0时， $y { = } 0$ ，

所以动点P的轨迹C的方程为 $\scriptstyle y ^ { 2 } = 4 ( x \geq 0 ) \bar { \mathcal { F } } \mathbb { I } y = 0 ( x < 0 )$

(Ⅱ)由题意知，直线 $\therefore l _ { 1 }$ 的斜率存在且不为零，设为k，则 $l _ { 1 }$ 的的方程为 $\scriptstyle { | y = k ( x - 1 ) }$ J

由 $\left\{ \begin{array} { c } { y = k ( x - 1 ) } \\ { y ^ { 2 } = 4 x } \end{array} \right.$ ，得 $\cdot k ^ { 2 } x ^ { 2 } - ( 2 k ^ { 2 } + 4 ) x + k ^ { 2 } = 0$

设A，B的坐标分别为 $( x _ { 1 } , \ y _ { 1 } ) , \ ( x _ { 2 } , \ y _ { 2 } )$ ，则 $x _ { 1 } + x _ { 2 } = 2 + { \frac { 4 } { k ^ { 2 } } } , x _ { 1 } x _ { 2 } = 1$

$\because l _ { 1 } \bot l _ { 2 } ,$ ∴直线 $l _ { 2 }$ 的斜率为﹣ $\frac { 1 } { k }$

设 $D ( x _ { 3 } , \ y _ { 3 } ) , \ E ( x _ { 4 } , \ y _ { 4 } )$ ，则同理可得 $x _ { 3 } + x _ { 4 } = 2 + 4 k ^ { 2 } , x _ { 3 } x _ { 4 } = 1$

$$ { \overrightarrow { A D } } \bullet { \overrightarrow { E B } } = ( { \overrightarrow { A F } } + { \overrightarrow { F D } } ) \bullet ( { \overrightarrow { E F } } + { \overrightarrow { F B } } ) = { \overrightarrow { A F } } \bullet { \overrightarrow { E F } } + { \overrightarrow { A F } } \bullet { \overrightarrow { F B } } + { \overrightarrow { F D } } \bullet { \overrightarrow { E F } } + { \overrightarrow { F D } } \bullet { \overrightarrow { F B } } $$

$$ = \overrightarrow { | A F | } \bullet \overrightarrow { | F B | } + \overrightarrow { | F D | } \bullet \overrightarrow { | E F | } = ( x _ { 1 } + 1 ) ( x _ { 2 } + 1 ) + ( x _ { 3 } + 1 ) ( x _ { 4 } + 1 ) $$

$$ = x _ { 1 } x _ { 2 } + ( x _ { 1 } + x _ { 2 } ) + 1 + x _ { 3 } x _ { 4 } + x _ { 3 } + x _ { 4 } + 1 $$

$$ 1 + 2 + \frac { 4 } { k ^ { 2 } } + 1 + 1 + 2 + 4 k ^ { 2 } + 1 = 8 + 4 ( k ^ { 2 } + \frac { 1 } { k ^ { 2 } } ) \geq 8 + 4 \times 2 = 1 6 , $$

当且仅当 $k ^ { 2 } { = } \frac { 1 } { k ^ { 2 } }$ ，即k=±1时， $\overrightarrow { A D } \cdot \overrightarrow { E B }$ 的最小值为16

点评：此题是个难题．考查代入法求抛物线的方程，以及直线与抛物线的位置关系，同时也考查了学生观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力