（10分） A B C 中， D 为边 B C 上的一点，…——2010 高考数学第 17 题答案解析

【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；HP：正弦定理．
【分析】先由 $\cos \angle A D C=\frac{3}{5}$ 确定角 $A D C$ 的范围，因为 $\angle B A D=\angle A D C-B$ 所以可求其正弦值，最后由正弦定理可得答案。

【解答】解：由 $\cos \angle \mathrm{ADC}=\frac{3}{5}>0$ ，则 $\angle \mathrm{ADC}<\frac{\pi}{2}$ ，
又由知 $B<\angle A D C$ 可得 $B<\frac{\pi}{2}$ ，
由 $\sin \mathrm{B}=\frac{5}{13}$ ，可得 $\cos \mathrm{B}=\frac{12}{13}$ ，

又由 $\cos \angle A D C=\frac{3}{5}$ ，可得 $\sin \angle A D C=\frac{4}{5}$ ．
从而 $\sin \angle B A D=\sin (\angle A D C-B)=\sin \angle A D C \cos B-\cos \angle A D C \sin B=\frac{4}{5} \times \frac{12}{13}-\frac{3}{5} \times \frac{5}{13}= \frac{33}{65}$.
由正弦定理得 $\frac{\mathrm{AD}}{\sin \mathrm{B}}=\frac{\mathrm{BD}}{\sin \angle \mathrm{BAD}}$ ，
所以 $\mathrm{AD}=\frac{\mathrm{BD} \cdot \sin \mathrm{B}}{\sin \angle \mathrm{BAD}}=\frac{33 \times \frac{5}{13}}{\frac{33}{65}}=25$ ．
【点评】三角函数与解三角形的综合性问题，是近几年高考的热点，在高考试题中频繁出现。这类题型难度比较低，一般出现在 17 或 18 题，属于送分题，估计以后这类题型仍会保留，不会有太大改变。解决此类问题，要根据已知条件，灵活运用正弦定理或余弦定理，求边角或将边角互化．