2010 quanguo_old_ii · 文 数学　·　真题与答案解析

1．（5分）设全集 $U=\left\{x \in N_{+} \mid x<6\right\}$ ，集合 $A=\{1,3\}, B=\{3,5\}$ ，则 $C_{U}(A \cup B)=$

2．（5分）不等式 $\frac{x-3}{x+2}<0$ 的解集为（ ）

3．（5分）已知 $\sin \alpha=\frac{2}{3}$ ，则 $\cos (\pi-2 \alpha)=$（ ）

4．（5分）函数 $y=\frac{1+\ln (x-1)}{2}(x>1)$ 的反函数是（ ）

5．（5分）若变量 $x$ ，$y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}x \geqslant-1 \\ y \geqslant x \\ 3 x+2 y \leqslant 5\end{array}\right.$ ，则 $z=2 x+y$ 的最大值为（）

6．（5分）如果等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{3}+a_{4}+a_{5}=12$ ，那么 $a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{7}=$（）

7．（5分）若曲线 $y=x^{2}+a x+b$ 在点（1，b）处的切线方程是 $x-y+1=0$ ，则

8．（5分）已知三棱锥 $S-A B C$ 中，底面 $A B C$ 为边长等于 2 的等边三角形，$S A$ 垂直于底面 $A B C, S A=3$ ，那么直线 $A B$ 与平面 $S B C$ 所成角的正弦值为（）

9．（5分）将标号为 $1,2,3,4,5,6$ 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中，若每个信封放 2 张，其中标号为 1,2 的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（ ）

10．（5分）$\triangle A B C$ 中，点D在边AB上，CD平分 $\angle A C B$ ，若 $\overrightarrow{C B}=\vec{a}, \overrightarrow{C A}=\vec{b},|\vec{a}|=1$ ， $|\overrightarrow{\mathrm{b}}|=2$ ，则 $\overrightarrow{\mathrm{CD}}=$（ ）

11．（5分）与正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的三条棱 $A B , C C_{1} , A_{1} D_{1}$ 所在直线的距离相等的点（ ）

12．（5分）已知椭圆T：$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \quad(a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，过右焦点 $F$ 且斜率为 $k ~(k>0) ~$ 的直线与 $T$ 相交于 $A$ ，$B$ 两点，若 $\overline{\mathrm{AF}}=3 \overline{\mathrm{FB}}$ ，则 $k=$（）

13．（5分）已知 $\alpha$ 是第二象限的角， $\tan \alpha=-\frac{1}{2}$ ，则 $\cos \alpha=$ $\_\_\_\_$ $-\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ．

14．（5分）$\left(x+\frac{1}{x}\right)^{9}$ 展开式中 $x^{3}$ 的系数是 84。（用数字作答）

15．（5分）已知抛物线 $C: y^{2}=2 p x ~(p>0) ~$ 的准线，过 $M(1,0)$ 且斜率为 $\sqrt{3}$的直线与 $I$ 相交于 $A$ ，与 $C$ 的一个交点为 $B$ ，若 $\overrightarrow{\mathrm{AM}}=\overrightarrow{\mathrm{MB}}$ ，则 $p=$ $\_\_\_\_$ 2。

16．（5分）已知球 $O$ 的半径为 4 ，圆 $M$ 与圆 $N$ 为该球的两个小圆，$A B$ 为圆 $M$ 与圆 $N$ 的公共弦，$A B=4$ ，若 $O M=O N=3$ ，则两圆圆心的距离 $M N=$ $\_\_\_\_$ 3。

17．（10分）$\triangle A B C$ 中，$D$ 为边 $B C$ 上的一点，$B D=33, \sin B=\frac{5}{13}, \cos \angle A D C=\frac{3}{5}$ ，求 AD．

18．（12分）已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 是各项均为正数的等比数列 $a_{1}+a_{2}=2\left(\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}\right), a_{3}+a_{4}+a { }_{5}=64\left(\frac{1}{a_{3}}+\frac{1}{a_{4}}+\frac{1}{a_{5}}\right)$ （I）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式； （II）设 $\mathrm{b}_{\mathrm{n}}=\left(\mathrm{a}_{\mathrm{n}}+\frac{1}{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}}\right)^{2}$ ，求数列 $\left\{\mathrm{b}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的前 n 项和 $\mathrm{T}_{\mathrm{n}}$ ．

19．（12分）如图，直三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，$A C=B C, A A_{1}=A B, D$ 为 $B B_{1}$ 的中点 ，$E$ 为 $A B_{1}$ 上的一点，$A E=3 E B_{1}$ ． （I）证明：$D E$ 为异面直线 $A B_{1}$ 与 $C D$ 的公垂线； （II）设异面直线 $A B_{1}$ 与 $C D$ 的夹角为 $45^{\circ}$ ，求二面角 $A_{1}-A C_{1}-B_{1}$ 的大小。 

20．（12分）如图，由M到N的电路中有 4 个元件，分别标为 $T_{1}, T_{2}, T_{3}, T_{4}$ ，电流能通过 $\mathrm{T}_{1}, \mathrm{~T}_{2}, \mathrm{~T}_{3}$ 的概率都是 P ，电流能通过 $\mathrm{T}_{4}$ 的概率是 0.9 ，电流能否通过各元件相互独立．已知 $T_{1}, T_{2}, T_{3}$ 中至少有一个能通过电流的概率为0．999． （I）求 P ； （II）求电流能在 M 与 N 之间通过的概率． 

21．（12分）已知函数 $f(x)=-x^{2}+a x+1-\ln x$ ． （I）当 $\mathrm{a}=3$ 时，求函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的单调递增区间； （II）若 $f(x)$ 在区间 $\left(0, \frac{1}{2}\right)$ 上是减函数，求实数 $a$ 的取值范围．

22．（12分）已知斜率为1的直线与双曲线 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 相交于B、 D 两点，且 BD 的中点为 $\mathrm{M}(1,3)$ ． （I）求C的离心率； （II）设C的右顶点为A，右焦点为F，$|\mathrm{DF}| \bullet|\mathrm{BF}|=17$ ，证明：过A、B、D三点的圆与 x 轴相切．