已知点 P 在圆 ( x - 5 ) ^ 2 + ( y…——2021 高考数学第 11 题答案解析

【答案】ACD

【解析】

【分析】计算出圆心到直线AB 的距离，可得出点P到直线AB 的距离的取值范围，可判断AB选项的正误；分析可知，当 $\angle P B A$ 最大或最小时，PB与圆M 相切，利用勾股定理可判断CD选项的正误.

【详解】圆 ${ \bigl ( } x - 5 { \bigr ) } ^ { 2 } + { \bigl ( } y - 5 { \bigr ) } ^ { 2 } = 1 6$ 的圆心为M(5,5)，半径为4，

直线AB 的方程为 ${ \frac { x } { 4 } } + { \frac { y } { 2 } } = 1$ ，即 $x + 2 y - 4 = 0$

圆心M 到直线AB 的距离为 ${ \frac { \left| 5 + 2 \times 5 - 4 \right| } { \sqrt { 1 ^ { 2 } + 2 ^ { 2 } } } } = { \frac { 1 1 } { \sqrt { 5 } } } = { \frac { 1 1 { \sqrt { 5 } } } { 5 } } > 4$

所以，点P到直线AB 的距离的最小值为 $\frac { 1 1 { \sqrt { 5 } } } { 5 } - 4 < 2$ ，最大值为 $\frac { 1 1 { \sqrt { 5 } } } { 5 } + 4 < 1 0$ ，A选项正确，B选项错误；

如下图所示：

当 $\angle P B A$ 最大或最小时，PB与圆M 相切，连接MP、BM，可知 $P M \perp P B$

$\left| B M \right| = { \sqrt { \left( 0 - 5 \right) ^ { 2 } + \left( 2 - 5 \right) ^ { 2 } } } = { \sqrt { 3 4 } }$ $\left| M P \right| = 4$ ，由勾股定理可得 $\left| B P \right| = \sqrt { \left| B M \right| ^ { 2 } - \left| M P \right| ^ { 2 } } = 3 \sqrt { 2 }$ ，CD选项正确.

故选：ACD.

【点睛】结论点睛：若直线l与半径为r 圆C相离，圆心C到直线l的距离为d ，则圆C上一点P到直的 线l的距离的取值范围是 $\left[ d - r , d + r \right]$