2012_退役省自主命题 (2012·理)
10、如图，半径为 $R$ 的半球 $O$ 的底面圆 $O$ 在平面 $\alpha$ 内，过点 $O$ 作平面 $\alpha$ 的垂线交半球面于点 $A$ ，过圆 $O$ 的直径 $C D$ 作平面 $\alpha$ 成 $45^{\circ}$ 角的平面与半球面相交，所得交线上到平面 $\alpha$
的距离最大的点为 $B$ ，该交线上的一点 $P$ 满足 $\angle B O P=60^{\circ}$ ，则 $A$ 、 $P$ 两点间的球面距离为
A
先把常见基础得分点练稳，再回来处理综合题。
答案：A
解析：过点 A 作 $A H \perp$ 平面 $B C D$ ，平面 BCD 与底面所成的
角为 $45^{\circ}, A O \perp$ 平面 $\alpha$ ，且点 B 为交线上与平面 $\alpha$ 的距离
最大的点，$\therefore$ 点 H 在 OB 上，且 $\angle A O B=45^{\circ}$ 。过点 H 作 $H M \perp O P$ ，垂足为 M ，连接 AM ，在等腰直角三角形 AOH 中，$A H=O H=\frac{\sqrt{2}}{2}$ R ．在 Rt $\Delta H O M$ 中，$\angle H O P=60^{\circ}$ ，
$\therefore H M=O H \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{6}}{4} R$.
在 $R t \triangle A H M$ 中，$A M=\sqrt{A H^{2}+H M^{2}}=\sqrt{\frac{2}{4} R^{2}+\frac{6}{16} R^{2}}=\sqrt{\frac{14}{16} R^{2}}=\frac{\sqrt{14}}{4} R$
则在 Rt $\triangle A M O$ 中， $\sin \angle A O P=\frac{\frac{\sqrt{14}}{4} R}{R}=\frac{\sqrt{14}}{4}$
$\therefore \cos \angle A O P=\frac{\sqrt{2}}{4}, \therefore \angle A O P=\arccos \frac{\sqrt{2}}{4}$
$\therefore \mathrm{A}, \mathrm{P}$ 两点的球面距离为 $R \arccos \frac{\sqrt{2}}{4}$ ．
考点定位：本题考查球体的几何性质，意在考查考生作图的能力和空间想象能力。