若函数 f(x)=|x+1|+|2 x+a| 的最小值 3…——2014 高考数学第 8 题答案解析

【答案】 D
【解析】

试题分析：由题意，①当 $-1>-\frac{a}{2}$ 时，即 $a>2, f(x)=\left\{\begin{array}{l}-3 x-(1+a), x \leq-\frac{a}{2} \\ x+a-1,-\frac{a}{2}<x \leq-1 \text { ，则当 } x=-\frac{a}{2} \text { 时，} \\ 3 x+(a+1), x>-1\end{array}\right. f_{\text {min }}(x)=f\left(-\frac{a}{2}\right)=\left|-\frac{a}{2}+1\right|+|-a+a|=3$ ，解得 $a=8$ 或 $a=-4$（舍）；②当 $-1<-\frac{a}{2}$ 时，即 $a<2$ ， $f(x)=\left\{\begin{array}{l}-3 x-(1+a), x \leq-1 \\ -x+1-a,-1<x \leq-\frac{a}{2} \\ 3 x+(a+1), x>-\frac{a}{2}\end{array}\right.$ ，则当 $x=-\frac{a}{2}$ 时，$f_{\text {min }}(x)=f\left(-\frac{a}{2}\right)=\left|-\frac{a}{2}+1\right|+|-a+a|=3$ ，解

得 $a=8$（舍）或 $a=-4$ ；③当 $-1=-\frac{a}{2}$ 时，即 $a=2, f(x)=3|x+1|$ ，此时 $f_{\text {min }}(x)=0$ ，不满足题意，所以 $a=8$ 或 $a=-4$ ，故选 D．
考点：1．绝对值函数的最值；2．分类讨论思想应用。