2010 全国高考数学 2010_旧全国 II 卷 (2010·理) 第 9 题答案解析 | 高考数学真题检索

Question

9．（5分）已知正四棱锥 $\mathrm{S}-\mathrm{ABCD}$ 中， $\mathrm{SA}=2 \sqrt{3}$ ，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（ ）

Accepted Answer

C

【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积． 【专题】11：计算题；16：压轴题． 【分析】设出底面边长，求出正四棱锥的高，写出体积表达式，利用求导求得 最大值时，高的值． 【解答】解：设底面边长为 a ，则高 $\mathrm{h}=\sqrt{\mathrm{SA}^{2}-\left(\frac{\sqrt{2} \mathrm{a}}{2}\right)^{2}}=\sqrt{12-\frac{\mathrm{a}^{2}}{2}}$ ，所以体积 $\mathrm{V}=\frac{1}{3} \mathrm{a}^{2} \mathrm{~h}=\frac{1}{3} \sqrt{12 \mathrm{a}^{4}-\frac{1}{2} \mathrm{a}^{6}}$, 设 $y=12 a^{4}-\frac{1}{2} a^{6}$ ，则 $y^{\prime}=48 a^{3}-3 a^{5}$ ，当 $y$ 取最值时，$y^{\prime}=48 a^{3}-3 a^{5}=0$ ，解得 $a=0$ 或 $a=$ 4 时，当 $a=4$ 时，体积最大， 此时 $\mathrm{h}=\sqrt{12-\frac{\mathrm{a}^{2}}{2}}=2$ ， 故选：C． 【点评】本试题主要考查椎体的体积，考查高次函数的最值问题的求法．是中档题。

2010 高考数学第 9 题答案解析

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