（5分）已知正四棱锥 S - ABCD 中， SA =2…——2010 高考数学第 9 题答案解析

【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】设出底面边长，求出正四棱锥的高，写出体积表达式，利用求导求得

最大值时，高的值．
【解答】解：设底面边长为 a ，则高 $\mathrm{h}=\sqrt{\mathrm{SA}^{2}-\left(\frac{\sqrt{2} \mathrm{a}}{2}\right)^{2}}=\sqrt{12-\frac{\mathrm{a}^{2}}{2}}$ ，所以体积 $\mathrm{V}=\frac{1}{3} \mathrm{a}^{2} \mathrm{~h}=\frac{1}{3} \sqrt{12 \mathrm{a}^{4}-\frac{1}{2} \mathrm{a}^{6}}$,
设 $y=12 a^{4}-\frac{1}{2} a^{6}$ ，则 $y^{\prime}=48 a^{3}-3 a^{5}$ ，当 $y$ 取最值时，$y^{\prime}=48 a^{3}-3 a^{5}=0$ ，解得 $a=0$ 或 $a=$ 4 时，当 $a=4$ 时，体积最大，

此时 $\mathrm{h}=\sqrt{12-\frac{\mathrm{a}^{2}}{2}}=2$ ，
故选：C．
【点评】本试题主要考查椎体的体积，考查高次函数的最值问题的求法．是中档题。