已知复数z满足 z ^ 2 = ( z ) ^ 2 , |…——2025 高考数学第 10 题答案解析

【解答】
2√2

【分析】先设 $z = a + b i$ ，利用复数的乘方运算及概念确定ab=0，再根据复数的几何意义数形结合计算即可.

设 $z = a + b i ( a , b \in R ) , \therefore { \bar { z } } = a - b i$

由题意可知 $z ^ { 2 } = a ^ { 2 } + 2 a b i - b ^ { 2 } = { \overline { { z } } } ^ { 2 } = a ^ { 2 } - 2 a b i - b ^ { 2 }$ ,则 $a b = 0$

又 $| z | = { \sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } } \leqslant 1$ ，由复数的几何意义知z在复平面内对应的点 $Z ( a , b )$ 在单位圆内部(含边界)的坐标轴上运动，如图所示即线段AB，CD上运动，

$E ( 2 , 3 )$ ,则 $\left| z - 2 - 3 \mathrm { i } \right| = \left| Z E \right|$ ，由图象可知 $| B E | = \sqrt { 1 0 } > | C E | = 2 \sqrt { 2 }$

所以 $| Z E | _ { \mathrm { m i n } } = 2 \sqrt { 2 }$

故答案为： $2 \sqrt { 2 }$