端点遗漏高考易错题

15.设c∈R，函数 $f ( x ) = | x ^ { 2 } - \cos x - c ^ { 2 } |$ 。给出下列四个论断：

①f(x)在(-1,1]上既有最小值又有最大值；

②当c=0时， $f ( x ) = 1$ 有3个解；

③当 $c = 1 , x \in ( 1 , 2 ]$ 时，f(x)有最大值；

④当 $c > 0$ 时，f(x)与y=c有4个交点。

其中正确论断的序号是

14.已知球O的体积为 $V _ { 0 } = 4 \sqrt { 3 } \pi$ ，点A，B，C，D均在球表面上，若 $\triangle A B C$ 为正三角形，且$D A = D B = D C = { \sqrt { 2 } }$ ，则 $S _ { \triangle A B C } =$

15.（13分）某工厂抽取一批电子元件检测，记录第一次出故障的时间（天），然后绘制出如下有关于“首次故障时间”与“对应频率”的频率分布直方图：

（1）求第一四分位数和中位数；

（2）设 $\hat { \boldsymbol { p } }$ 为首次故障时间小于365天的概率估计值.

（i）求 $\hat { \boldsymbol { p } }$

（ii）已知该工厂向某用户销售100件电子元件，X为这100件产品首次出现故障时间小于365天的件数，若 $X \sim B \left( 1 0 0 , \hat { p } \right)$ ，求E(X)和D(X).

15. 某工厂抽取一批电子元件检测，记录第一次出故障的时间（天），然后绘制出如下有关于“首次故障时间”与“对应频率”的频率分布直方图：

①求第一四分位数和中位数；

②设 $\hat { p }$ 为首次故障时间小于365天的概率估计值.

（i）求 $\hat { \boldsymbol { p } }$

(ii)已知该工厂向某用户销售了100件电子元件，X为这100件产品首次出现故障时间小于365天的件数，若X\~B(100,p)，求E(X)和 D(X).

9． 已知 $\odot O: x^{2}+y^{2}=1, \odot A: x^{2}+y^{2}-6 x-8 y+k=0$ ，则

10． 等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公比 $q \neq 1, a_{1}>0,2 a_{3}=a_{2}+a_{1}$ ，记前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则

7．一百零八塔位于宁夏回族自治区青铜峡市，以其独特的建筑格局和深远的历史文化闻名遐迩，该塔群共有 $108$ 座塔，依山势自上而下排成 $12$ 行，将第 $i$ 行中塔的座数记为 $a_i$（$i=1,2,\cdots,12$），其中 $a_1=1$，$a_3=a_4=3$，$a_6=a_7=5$，且 $a_1,a_2,\cdots,a_{12}$ 是一个首项为 $7$，公差为 $2$ 的等差数列，将 $a_1,a_2,\cdots,a_{12}$ 分为 $6$ 组，每组 $2$ 个数，使得每组的 $2$ 个数之和可构成一个项数为 $6$ 且公差为 $d(d>0)$ 的等差数列，则 $d=$

14. 设实数q满足: 存在数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ ，使得对于任意 $n \in N ^ { * }$ ，均有 $a _ { 1 } + a _ { 2 } + \cdots + a _ { 3 n } = n ^ { 2 } + n$ ，且 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 中有某连续9项 $a _ { k } , a _ { k + 1 } , \cdots , a _ { k + 8 }$ 是公比为q的等比数列，则q的最大值为

15.关于定义域为R的函数f(x)，以下说法正确的有

①存在在R上单调递增的函数f(x)使得 $f ( x ) + f ( 2 x ) = - x$ 恒成立；

②存在在R上单调递减的函数f(x)使得 $f ( x ) + f ( 2 x ) = - x$ 恒成立；

③使得 $f ( x ) + f ( - x ) = \cos x$ 恒成立的函数f(x)存在且有无穷多个；

④使得 $f ( x ) - f ( - x ) = \cos x$ 恒成立的函数f(x)存在且有无穷多个.

16. 在 $\triangle A B C$ 中， $\displaystyle { \cos { A } = - \frac { 1 } { 3 } } , a { \sin { C } = 4 \sqrt { 2 } }$

(1) 求c;

(2)在以下三个条件中选择一个作为已知，使得 $\triangle A B C$ 存在，求BC的高.

① $a = 6 ; \textcircled { 2 } b \sin C = \frac { 1 0 \sqrt { 2 } } { 3 }$ ;③ $\triangle A B C$ 面积为 $1 0 \sqrt { 2 }$

5. 函数 $y = \cos x$ 在 $[ - \frac { \pi } { 2 } , \frac { \pi } { 4 } ]$ 上的值域为\_

10. 已知复数z满足 $z ^ { 2 } = ( \bar { z } ) ^ { 2 } , | z | \leqslant 1$ ,则 $\left| z - 2 - 3 \mathrm { i } \right|$ 的最小值是

17.2024年东京奥运会，中国获得了男子 $4 \times 1 0 0$ 米混合泳接力金牌．以下是历届奥运会男子 $4 \times 1 0 0$ 米混合泳接力项目冠军成绩记录(单位：秒)，数据按照升序排列.

<table><tr><td rowspan=1 colspan=1>206.78</td><td rowspan=1 colspan=1>207.46</td><td rowspan=1 colspan=1>207.95</td><td rowspan=1 colspan=1>209.34</td><td rowspan=1 colspan=1>209.35</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>210.68</td><td rowspan=1 colspan=1>213.73</td><td rowspan=1 colspan=1>214.84</td><td rowspan=1 colspan=1>216.93</td><td rowspan=1 colspan=1>216.93</td></tr></table>

(1)求这组数据的极差与中位数；

(2)从这10个数据中任选3个，求恰有2个数据在211以上的概率；

(3)若比赛成绩y关于年份x的回归方程为 ${ \boldsymbol { y } } = - 0 . 3 1 1 { \boldsymbol { x } } + { \boldsymbol { \hat { b } } }$ ,年份x的平均数为2006，预测2028年冠军队的成绩(精确到0.01秒).

1．已知全集 $U=\{x \mid 2 \leq x \leq 5, x \in \mathbf{R}\}$ ，集合 $A=\{x \mid 2 \leq x<4, x \in \mathbf{R}\}$ ，则 $\bar{A}=$ $\_\_\_\_$．

2．不等式 $\frac{x-1}{x-3}<0$ 的解集为 $\_\_\_\_$。

12. $l _ { 1 } : x - y + 6 = 0$ ，与x轴交于点A，与y轴交于点B，与 $( x + 1 ) ^ { 2 } + ( y - 3 ) ^ { 2 } = r ^ { 2 }$ 交于C、D两点， $| A B | =$ $3 | C D |$ ,则r=

15. 若 $a , b \in R$ ,对 $\forall x \in [ - 2 , 2 ]$ ,均有 $( 2 a + b ) x ^ { 2 } + b x - a - 1 \leqslant 0$ 恒成立，则 $2 a + b$ 的最小值为

8．$f(x)=\sin (\omega x+\varphi)(\omega>0,-\pi<\varphi<\pi)$ ，在 $\left[-\frac{5 \pi}{12}, \frac{\pi}{12}\right]$ 上单调递增，且 $x=\frac{\pi}{12}$ 为它的一条对称轴，$\left(\frac{\pi}{3}, 0\right)$ 是它的一个对称中心，当 $x \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 时，$f(x)$ 的最小值为

$13. x = 2$是 $f(x) =(x$−1)(x−2)(x − a)的极值点，则 f(0) = .

15. （13分） $f ( x ) = \cos ( 2 x + \varphi ) ( 0 \leq \varphi < \pi ) , f ( 0 ) = { \frac { 1 } { 2 } }$

(1) 求 $\varphi$ i

② $g ( x ) = f ( x ) + f ( x - \frac { \pi } { 6 } )$ ，求g(x)的值域和单调区间.

18. （17分） $f ( x ) = \ln ( 1 + x ) - x + \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } - k x ^ { 3 } , 0 < k < \frac { 1 } { 3 }$

(1）证明：f(x)在(0,+∞)存在唯一极值点和唯一零点；

② 设 $x _ { 1 } , x _ { 2 }$ 为 f(x)在(0,+∞)的极值点和零点；

(i) $g ( t ) = f ( x _ { 1 } + t ) - f ( x _ { 1 } - t )$ 。证明：g(t)在 $\left( 0 , x _ { 1 } \right)$ 单调递减.

（ii）比较 $2 x _ { 1 } x _ { 2 }$ 的大小，并证明.

12．已知 $\alpha \in\left[\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}\right]$ ，且 $\alpha$ 与 $\beta$ 的终边关于原点对称，则 $\cos \beta$ 的最大值为 $\_\_\_\_$ ．

3. 若实数 $x, y$ 满足约束条件 $\left\{ \begin{array}{l} 4x - 3y - 3 \geq 0 \\ x - 2y - 2 \leq 0 \\ 2x + 6y - 9 \leq 0 \end{array} \right.$ ，则 $z = x - 5y$ 的最小值为（ ）

12. 函数 $f \left( x \right) = \sin x - \sqrt { 3 } \cos x$ 在 $\left[ 0 , \pi \right]$ 上的最大值是

13. $\left(\frac{1}{3} + x\right)^{10}$ 的展开式中，各项系数的最大值是\_\_\_\_.

13．$\left(\frac{1}{3}+x\right)^{10}$ 的展开式中，各项系数的最大值是 $\_\_\_\_$ ．

18．记 $S_{n}$ 为数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，且 $4 S_{n}=3 a_{n}+4$ ．
（1）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
②设 $b_{n}=(-1)^{n-1} n a_{n}$ ，求数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ．

3．若实数 $x, y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}4 x-3 y-3 \geq 0 \\ x-2 y-2 \leq 0 \\ 2 x+6 y-9 \leq 0\end{array}\right.$, 则 $z=x-5 y$ 的最小值为（ ）

12．函数 $f(x)=\sin x-\sqrt{3} \cos x$ 在 $[0, \pi]$ 上的最大值是

14．曲线 $y=x^{3}-3 x$ 与 $y=-(x-1)^{2}+a$ 在 $(0,+\infty)$ 上有两个不同的交点，则 $a$ 的取值范围为 $\_\_\_\_$。

17．已知函数 $f(x)=a(x-1)-\ln x+1$ ．
（1）求 $f(x)$ 的单调区间；
（2）若 $a \leq 2$ 时，证明：当 $x>1$ 时，$f(x)<\mathrm{e}^{x-1}$ 恒成立．

15．若函数 $f(x)=2 \sqrt{x^{2}-a x}-|a x-2|+1$ 有唯一零点，则 $a$ 的取值范围为

6．已知函数为 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}-x^{2}-2 a x-a, x<0 \\ \mathrm{e}^{x}+\ln (x+1), x \geq 0\end{array}\right.$ ，在 $\mathbf{R}$ 上单调递增，则 $a$ 取值的范围是（ ）

7．当 $x \hat{\mathbf{1}}[0,2 \pi]$ 时，曲线 $y=\sin x$ 与 $y=2 \sin \left(3 x-\frac{\pi}{6}\right)$ 的交点个数为（ ）

18．已知函数 $f(x)=\ln \frac{x}{2-x}+a x+b(x-1)^{3}$
（1）若 $b=0$ ，且 $f^{\prime}(x) \geq 0$ ，求 $a$ 的最小值；
（2）证明：曲线 $y=f(x)$ 是中心对称图形；
（3）若 $f(x)>-2$ 当且仅当 $1<x<2$ ，求 $b$ 的取值范围．

11．设函数 $f(x)=2 x^{3}-3 a x^{2}+1$ ，则 ()

1．已知集合 $M=\{x \mid x+2 \geq 0\}, N=\{x \mid x-1<0\}$ ，则 $M \cap N=$（ ）

17．设函数 $f(x)=\sin \omega x \cos \varphi+\cos \omega x \sin \varphi\left(\omega>0,|\varphi|<\frac{\pi}{2}\right)$ ．
（1）若 $f(0)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求 $\varphi$ 的值．
（2）已知 $f(x)$ 在区间 $\left[-\frac{\pi}{3}, \frac{2 \pi}{3}\right]$ 上单调递增，$f\left(\frac{2 \pi}{3}\right)=1$ ，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数 $f(x)$ 存在，求 $\omega, \varphi$ 的值．

条件①：$f\left(\frac{\pi}{3}\right)=\sqrt{2}$ ；

条件②：$f\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-1$ ；
条件③：$f(x)$ 在区间 $\left[-\frac{\pi}{2},-\frac{\pi}{3}\right]$ 上单调递减。
注：如果选择的条件不符合要求，第②问得 0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．

14．设 $x, y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}-2 x+3 y \leq 3 \\ 3 x-2 y \leq 3 \\ x+y \geq 1\end{array}\right.$ ，设 $z=3 x+2 y$ ，则 $z$ 的最大值为 $\_\_\_\_$ ．

23．已知 $f(x)=2|x-a|-a, a>0$ ．
（1）求不等式 $f(x)<x$ 的解集；
（2）若曲线 $y=f(x)$ 与坐标轴所围成的图形的面积为 2 ，求 $a$ ．

6．执行下边的程序框图，则输出的 $B=$（ ）

A 21
B． 34
C． 55
D． 89