【答案】②③
【解析】
【分析】先分析f(x)的图像，再逐一分析各结论；对于①，取 $a = \frac { 1 } { 2 }$ ，结合图像即可判断；对于②，分段讨论f(x)的取值范围，从而得以判断；对于③，结合图像可知 $\left| M N \right|$ 的范围；对于④，取 $a = \frac { 4 } { 5 }$ ，结合图
像可知此时 $| P Q |$ 存在最小值，从而得以判断.
【详解】依题意， $a > 0$
当 $x < - a$ 时， $f ( x ) = x + 2$ ，易知其图像为一条端点取不到值的单调递增的射线；
当 $- a \leq x \leq a$ 时， $f \left( x \right) = { \sqrt { a ^ { 2 } - x ^ { 2 } } }$ ，易知其图像是，圆心为(0,0)，半径为a的圆在x轴上方的图像（即半圆）；
当 $x > a$ 时， $f ( x ) = - { \sqrt { x } } - 1$ ，易知其图像是一条端点取不到值的单调递减的曲线；
对于①，取 $a = \frac { 1 } { 2 }$ ，则 $f ( x )$ 的图像如下，
显然，当 $x \in \left( a - 1 , + \infty \right)$ ，即 $x \in \left( - \frac { 1 } { 2 } , + \infty \right)$ 时， $f ( x ) \not \equiv \left( - \frac { 1 } { 2 } , 0 \right)$ 上单调递增，故①错误；
对于②，当 $a \geq 1$ 时，
当 $x < - a$ 时， $f ( x ) = x + 2 < - a + 2 \leq 1$ ；
当 $- a \leq x \leq a$ 时， $f \left( x \right) = { \sqrt { a ^ { 2 } - x ^ { 2 } } }$ 显然取得最大值a；
当 $x > a$ 时， $f \left( x \right) = - { \sqrt { x } } - 1 < - { \sqrt { a } } - 1 \leq - 2$
综上：f(x)取得最大值a，故②正确；
对于③，结合图像，易知在 $x _ { 1 } = a , x _ { 2 } > a$ 且接近于 $x = a$ 处，
$M \left( x _ { 1 } , f { \big ( } x _ { 1 } { \big ) } \right) ( x _ { 1 } \leq a ) , N { \big ( } x _ { 2 } , f { \big ( } x _ { 2 } { \big ) } { \big ) } { \big ( } x _ { 2 } > a { \big ) }$ 的距离最小，
当 $x _ { 1 } = a$ 时， $\textstyle y = f { \bigl ( } x _ { 1 } { \bigr ) } = 0$ ，当 $x _ { 2 } > a$ 且接近于x a= 处， $y _ { 2 } = f { \big ( } x _ { 2 } { \big ) } < - { \sqrt { a } } - 1$
此时， $\left| M N \right| > y _ { 1 } - y _ { 2 } > \sqrt { a } + 1 > 1$ ，故③正确；
对于④，取 $a = \frac { 4 } { 5 }$ ，则 f(x)的图像如下，
因为 $P { \big ( } x _ { 3 } , f { \big ( } x _ { 3 } { \big ) } { \big ) } { \big ( } x _ { 3 } < - a { \big ) } , Q { \big ( } x _ { 4 } , f { \big ( } x _ { 4 } { \big ) } { \big ) } { \big ( } x _ { 4 } \geq - a { \big ) }$
结合图像可知，要使 $| P Q |$ 取得最小值，则点P在 $f \left( x \right) = x + 2 { \Biggl ( } x < - { \frac { 4 } { 5 } } { \Biggr ) }$ 上，点 $\boldsymbol { Q } \#$
$$
f (x) = \sqrt {\frac {1 6}{2 5} - x ^ {2}} \left(- \frac {4}{5} \leq x \leq \frac {4}{5}\right)
$$
同时 $| P Q |$ 的最小值为点O到 $f \left( x \right) = x + 2 { \Biggl ( } x < - { \frac { 4 } { 5 } } { \Biggr ) }$ 的距离减去半圆的半径a，
此时，因为 $f \left( x \right) = y = x + 2 { \Biggl ( } x < - { \frac { 4 } { 5 } } { \Biggr ) }$ 的斜率为1，则 $k _ { O P } = - 1$ ，故直线 $O P$ 的方程为 $y = - x$
联立 $\left\{ { \begin{array} { l } { y = - x } \\ { y = x + 2 } \end{array} } \right.$ ，解得 $\left\{ { \begin{array} { l } { x = - 1 } \\ { y = 1 } \end{array} } \right.$ ，则 $P \left( - 1 , 1 \right)$
显然P(-1,1)在 $f \left( x \right) = x + 2 { \Biggl ( } x < - { \frac { 4 } { 5 } } { \Biggr ) }$ 上，满足 $| P Q |$ 取得最小值，
即 $a = \frac { 4 } { 5 }$ 也满足 $| P Q |$ 存在最小值，故a的取值范围不仅仅是 $\left( 0 , { \frac { 1 } { 2 } } \right]$ ，故④错误.
故答案为：②③.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是分析得 $f ( x )$ 的图像，特别是当- £ £a x a时， $f ( x ) = { \sqrt { a ^ { 2 } - x ^ { 2 } } }$ 的图像为半圆，解决命题④时，可取特殊值进行排除即可.