设直线 x-3 y+m=0(m ≠ 0) 与双曲线 x^…_2014浙江高考数学第17题答案解析 | 高考真题检索

Question

17、设直线 $x-3 y+m=0(m 
eq 0)$ 与双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的两条渐近线分别交于点 $\mathrm{A} 、 \mathrm{~B}$ ，若点 $P(m, 0)$ 满足 $|P A|=|P B|$ ，则该双曲线的离心率是 $\_\_\_\_$ ．

Accepted Answer

$\frac{\sqrt{5}}{2}$

【答案】 $\frac{\sqrt{5}}{2}$
【解析】由双曲线的方程数知，其渐近线方程为 $y=\frac{b}{a} x$ 与 $y=-\frac{b}{a} x$ ，分别与直线 $x-3 y+m=0$ 联立方程组，解得 $A\left(\frac{-a m}{a-3 b}, \frac{-b m}{a-3 b}\right), B\left(\frac{-a m}{a+3 b}, \frac{b m}{a+3 b}\right)$ ，由

$|P A|=|P B|$ ，设 $A B$ 的中点为 $E$ ，因为 $P E$ 与直线 $x-3 y+m=0$ 垂直，所以 $2 a^{2}=8 b^{2}=8\left(c^{2}-a^{2}\right)$ ，所以 $e=\frac{\sqrt{5}}{2}$ ．点评：本题考查双曲线的性质、渐近线与离心率，中等题．
三．

设直线 x-3 y+m=0(m ≠ 0) 与双曲线 x^…——2014 高考数学第 17 题答案解析

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