（10分）设 A B C 的内角 A、 B、 C 的对边长…——2009 高考数学第 17 题答案解析

【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；HP：正弦定理．
【专题】11：计算题．
【分析】本题考查三角函数化简及解三角形的能力，关键是注意角的范围对角的三角函数值的制约，并利用正弦定理得到 $\sin \mathrm{B}=\frac{\sqrt{3}}{2}$（负值舍掉），从而求出答案．

【解答】解：由 $\cos (A-C)+\cos B=\frac{3}{2}$ 及 $B=\pi-(A+C)$ 得
$\cos (A-C)-\cos (A+C)=\frac{3}{2}$,
$\therefore \cos \mathrm{A} \cos \mathrm{C}+\sin \mathrm{A} \sin \mathrm{C}-(\cos \mathrm{A} \cos \mathrm{C}-\sin \mathrm{A} \sin \mathrm{C})=\frac{3}{2}$ ，
$\therefore \sin \mathrm{Asin} \mathrm{C}=\frac{3}{4}$ ．
又由 $b^{2}=a c$ 及正弦定理得 $\sin ^{2} B=\sin A \sin C$ ，
故 $\sin ^{2} \mathrm{~B}=\frac{3}{4}$ ，
$\therefore \sin \mathrm{B}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 或 $\sin \mathrm{B}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$（舍去），
于是 $\mathrm{B}=\frac{\pi}{3}$ 或 $\mathrm{B}=\frac{2 \pi}{3}$ ．
又由 $b^{2}=a c$
知 $b \leq a$ 或 $b \leq c$
所以 $\mathrm{B}=\frac{\pi}{3}$ ．
【点评】三角函数给值求值问题的关键就是分析已知角与未知角的关系，然后通过角的关系，选择恰当的公式，即：如果角与角相等，则使用同角三角函数关系；如果角与角之间的和或差是直角的整数倍，则使用诱导公式；如果角与角之间存在和差关系，则我们用和差角公式；如果角与角存在倍数关系 ，则使用倍角公式。