（本小题满分 14 分） 已知函数 f(x)= 1 1+x…——2008 高考数学第 22 题答案解析

【解答】
解：（1）、当 $a=8$ 时，$f(x)=\frac{1+\sqrt{x}}{\sqrt{1+x}}+\frac{1}{3}$ ，求得 $f^{\prime}(x)=\frac{1-\sqrt{x}}{2 \sqrt{x(1+x)^{3}}}$ ，

于是当 $x \in(0,1]$ 时，$f^{\prime}(x) \geq 0$ ；而当 $x \in[1,+\infty)$ 时，$f^{\prime}(x) \leq 0$ ．
即 $f(x)$ 在 $(0,1]$ 中单调递增，而在 $[1,+\infty)$ 中单调递减．
（2）．对任意给定的 $a>0, x>0$ ，由 $f(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x}}+\frac{1}{\sqrt{1+a}}+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{8}{a x}}}$ ，
若令 $b=\frac{8}{a x}$ ，则 $a b x=8 \quad \cdots$①，而 $f(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x}}+\frac{1}{\sqrt{1+a}}+\frac{1}{\sqrt{1+b}} \quad \cdots$（2）
（一）、先证 $f(x)>1$ ；因为 $\frac{1}{\sqrt{1+x}}>\frac{1}{1+x}, \frac{1}{\sqrt{1+a}}>\frac{1}{1+a}, \frac{1}{\sqrt{1+b}}>\frac{1}{1+b}$ ，
又由 $2+a+b+x \geq 2 \sqrt{2 a}+2 \sqrt{b x} \geq 4 \sqrt[4]{2 a b x}=8$ ，得 $a+b+x \geq 6$ ．
所以 $f(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x}}+\frac{1}{\sqrt{1+a}}+\frac{1}{\sqrt{1+b}}>\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}=\frac{3+2(a+b+x)+(a b+a x+b x)}{(1+x)(1+a)(1+b)}$
$\geq \frac{9+(a+b+x)+(a b+a x+b x)}{(1+x)(1+a)(1+b)}=\frac{1+(a+b+x)+(a b+a x+b x)+a b x}{(1+x)(1+a)(1+b)}=1$.
（二）、再证 $f(x)<2$ ；由①、（2）式中关于 $x, a, b$ 的对称性，不妨设 $x \geq a \geq b$ ．则 $0（i）、当 $a+b \geq 7$ ，则 $a \geq 5$ ，所以 $x \geq a \geq 5$ ，因为 $\frac{1}{\sqrt{1+b}}<1$ ，
$\frac{1}{\sqrt{1+x}}+\frac{1}{\sqrt{1+a}} \leq \frac{2}{\sqrt{1+5}}<1$ ，此时 $f(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x}}+\frac{1}{\sqrt{1+a}}+\frac{1}{\sqrt{1+b}}<2$ ．
（ii）、当 $a+b<7 \cdots(3)$ ，由①得，$x=\frac{8}{a b}, \frac{1}{\sqrt{1+x}}=\sqrt{\frac{a b}{a b+8}}$ ，
因为 $\frac{1}{1+b}<1-\frac{b}{1+b}+\frac{b^{2}}{4(1+b)^{2}}=\left[1-\frac{b}{2(1+b)}\right]^{2}$ 所以 $\frac{1}{\sqrt{1+b}}<1-\frac{b}{2(1+b)}$

同理得 $\frac{1}{\sqrt{1+a}}<1-\frac{a}{2(1+a)} \cdots$⑤，于是 $f(x)<2-\frac{1}{2}\left(\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}-2 \sqrt{\frac{a b}{a b+8}}\right) \quad \cdots$
（6）
今证明 $\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}>2 \sqrt{\frac{a b}{a b+8}} \quad \cdots \quad$⑦，因为 $\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b} \geq 2 \sqrt{\frac{a b}{(1+a)(1+b)}}$ ，

只要证 $\quad \frac{a b}{(1+a)(1+b)}>\frac{a b}{a b+8}$ ，即 $\quad a b+8>(1+a)(1+b)$ ，也即 $a+b<7$ ，据③，此为显然。
因此（7）得证．故由（6）得 $f(x)<2$ ．
综上所述，对任何正数 $a, x$ ，皆有 $1